Équations différentielles linéaires du 1er ordre
La connaissance des équations différentielles n’est pas aussi fondamentale pour la gestion d’une entreprise qu’elle l’est pour certaines sciences telles que la physique, la chimie et la biologie. Elle permet alors de construire des modèles mathématiques qui décrivent le mouvement d'un ou plusieurs corps. Néanmoins, une petite introduction ne peut pas faire de mal, d’autant que des applications existent, tant en économie qu'en finance.
Présentation
Une équation différentielle lie une fonction et sa dérivée, voire plusieurs dérivées successives. La résolution d’une telle équation est la recherche des fonctions qui en sont les solutions. Les représentations graphiques des solutions sont les champs de vecteurs (ou champs de tangentes) et les courbes intégrales.
Habituellement, on simplifie la notation en utilisant \(y\) pour \(f(x),\) \(y’\) pour \(f’(x)\) etc.
Si la relation n’existe qu’entre une fonction et sa dérivée première, on parle d’équation du premier ordre. Si la dérivée seconde intervient, elle est du second ordre et ainsi de suite lorsqu’interviennent les dérivées des ordres suivants.
La résolution d’une équation du premier ordre débute par l’isolement de \(y’.\)
Équations homogènes
Le cas le plus simple est celui où \(y’ = b\) (\(b \in \mathbb{R}\)) signifiant par là que \(y = bx + c\) (\(c\) étant une constante réelle). Les solutions sont donc l'ensemble des fonctions affines ayant le même coefficient directeur.
On le voit ici mais la procédure est la même dans les cas plus compliqués, les deux membres de la relation ont été intégrés. C’est pourquoi on parle indistinctement de résolution ou d’intégration d’une équation différentielle.
Vous trouverez aussi le cas où \(y’ = ay\) (\(a \in \mathbb{R}\).) On obtient alors \(y = ce^{ax}.\) C'est la situation classique d'un accroissement proportionnel à une grandeur (croissance exponentielle).
Davantage de détails en page d'équations différentielles homogènes du premier ordre.
y' = ay + b
Poursuivons avec l’équation de type \(y’ = ay + b\) (\(a \in \mathbb{R}^*\)). Même principe, \(y = ce^{ax} - \frac{b}{a}.\)
Supposons l’équation \(y - 2y’ = 6.\) On isole la dérivée et donc \(y’ = -3 + \frac{1}{2}y.\) En appliquant la formule, on obtient une expression de la fonction \(y\) :
\(y(x) = ce^{\frac{x}{2}} + 6,\) avec \(c \in \mathbb{R}\)
En l’absence d’indication permettant de déterminer \(c,\) il existe une infinité de solutions.
Voir la page sur les équations différentielles de type \(y' = ay + b\).
Nous avons survolé jusqu’ici les équations les plus simples. Voyons celles qui sont égales à une fonction \(g.\)
Équations avec second membre
Le mode d’emploi comprend trois étapes : on détermine une solution particulière par identification, on résout l’équation différentielle sans second membre comme on l’a vu plus haut et enfin on additionne les deux « solutions ». C’est le principe de superposition. Notez qu'en terminale, la solution particulière est donnée (voir les équations différentielles d'ordre 1 avec second membre).
Des équations plus complexes, mais toujours linéaires, font intervenir d’autres ordres. Du coup, certains utilisent une notation différente : \(af’’ + bf’ + cf = g\) est une équation du second ordre à coefficients constants (\(g\) est une fonction). On voit pourquoi on appelle ces équations LINÉAIRES : nous sommes en présence d'une combinaison linéaire qui appartient à l’espace vectoriel \(E(f,f’,f’’).\)
Les coefficients ne sont pas forcément constants. Exemple : \(xf’ + f = g.\)
Les équations non linéaires sont celles où la fonction se multiplie à elle-même ou à l’une de ses dérivées. Exemple : \(f’^2 + ff’’ = g.\) Il n’existe pas qu'UNE seule technique d’intégration.
Terminons cette page par deux exercices de niveau terminale (linéaires du premier ordre à coefficients constants).
Exercice 1
Soit l’équation \(E\) : \(2y’ + y = x + 4,\) définie sur \(\mathbb{R.}\) Déterminer une fonction affine solution de \(E.\)
Éléments de correction
Comme la dérivée de \(ax + b\) n’est autre que \(a,\) on peut remplacer les \(y,\) d’où \(2a + ax + b\) \(=\) \(x + 4.\) Par identification on trouve que \(a\) est égal à 1 et il s'ensuit que \(b = 2.\) Donc \(y = x + 2.\)
Ensuite, attaquons-nous à l’équation homogène \(E_1\) : \(2y’ + y = 0.\)
On a vu que l’on résolvait facilement l'équation \(y’ = -\frac{1}{2}y\) et que \(y = ke^{-\frac{1}{2}x}.\)
Quel est le lien entre ces deux questions ? La solution de \(E_1\) ajoutée à la fonction affine donne l’ensemble des solutions de \(E.\)
Donc \(f(x) = x + 2 + ke^{-\frac{x}{2}}.\)
Vérifions. Nous avons \(f’(x) = 1 - \frac{1}{2}ke^{-\frac{1}{2}x}.\) Remplaçons dans \(E.\)
\(2(1 - \frac{1}{2}ke^{-\frac{1}{2}}) + (x + 2 + ke^{-\frac{1}{2}x})\) \(=\) \(x + 4\) c’est-à-dire \(2 - ke^{-\frac{1}{2}x} + x + 2 + ke^{-\frac{1}{2}x}\) \(=\) \(x + 4.\)
Impeccable, quel que soit \(k.\)
On peut aussi poser une condition pour connaître \(k.\) Mettons que la dérivée s’annule pour \(x = 0.\) On a alors \(1 - \frac{1}{2}k = 0\) donc \(k = 2.\)
Comme vous êtes déjà féru d’équations différentielles, voici un autre exercice.
Exercice 2
Sur le même principe, intégrer \(E\) : \(3y’ + 2y = x^2 - 4x + 2.\)
Éléments de correction
Déjà répondu ? Bravo. Par acquit de conscience, voici quand même un corrigé.
Cherchons une solution de type \(ax^2 + bx + c.\) La dérivée est \(2ax + b\). Remplaçons.
\(3(2ax + b) + 2(ax^2 + bx + c)\) \(=\) \(x^2 - 4x + 2.\) Donc \(2ax^2 + (6a + 2b)x + 3b + 2c\) \(=\) \(x^2 - 4x + 2.\) C’est une identification facile. \(a = 0,5,\) \(b = -3,5\) et \(c = 6,25.\) Donc \(y = 0,5x^2 - 3,5x + 6,25.\)
Deuxièmement, on pose \(3y’ + 2y = 0.\) On se reporte alors à notre bonne vieille formule, soit \(y’ = -\frac{2}{3}y\) qui se traduit par \(y = ke^{-\frac{2}{3}x}.\)
Par conséquent, \(f(x)\) \(=\) \(0,5x^2 - 3,5x + 6,25 + ke^{-\frac{2}{3}x}\) et \(f’(x)\) \(=\) \(x - 3,5 - \frac{2}{3}ke^{-\frac{2}{3}x}.\)
