Une introduction aux équations différentielles

Équations différentielles linéaires du 1er ordre

La connaissance des équations différentielles n’est pas aussi fondamentale pour la gestion d’une entreprise qu’elle l’est pour certaines sciences telles que la physique, la chimie et la biologie. Elle permet alors de construire des modèles mathématiques qui décrivent le mouvement d'un ou plusieurs corps. Néanmoins, une petite introduction ne peut pas faire de mal, d’autant que des applications existent, tant en économie qu'en finance.

 

Équations différentielles

Une équation différentielle lie une fonction et sa dérivée, voire plusieurs dérivées successives. La résolution d’une telle équation est la recherche des fonctions qui en sont les solutions. Les représentations graphiques des solutions sont les champs de vecteurs (ou champs de tangentes) et les courbes intégrales.

Habituellement, on simplifie la notation en utilisant \(y\) pour \(f(x),\) \(y’\) pour \(f’(x)\) etc.

Si la relation n’existe qu’entre une fonction et sa dérivée première, on parle d’équation du premier ordre (et ainsi de suite lorsqu’interviennent les dérivées des ordres suivants).

La résolution d’une équation du premier ordre débute par l’isolement de \(y’.\)

 

Équations sans second membre

Le cas le plus simple est celui où \(y’ = b,\) signifiant par là que \(y = bx + k\) (\(k\) étant une constante). Les solutions sont donc l'ensemble des fonctions affines ayant le même coefficient directeur.

On le voit ici mais la procédure est la même dans les cas plus compliqués, les deux membres de la relation ont été intégrés. C’est pourquoi on parle indistinctement de résolution ou d’intégration d’une équation différentielle.

Vous trouverez aussi le cas où \(y’ = ay.\) On obtient alors \(y = ke^{ax}.\) C'est la situation classique d'un accroissement proportionnel à une grandeur. Par exemple, plus une population est importante, plus son accroissement est rapide (croissance exponentielle).

Poursuivons avec l’équation de type \(y’ = ay + b.\) Même principe, \(y = ke^{ax} - \frac{b}{a}.\)

Exemple.

Supposons l’équation \(y - 2y’ = 6.\) On isole la dérivée et donc \(y’ = -3 + \frac{1}{2}y.\) En appliquant la formule, on obtient une expression de la fonction \(f\) :

\(f(x) = ke^{\frac{x}{2}} + 6,\) avec \(k \in \mathbb{R}\)

En l’absence d’indication permettant de déterminer \(k,\) il existe une infinité de solutions.

Nous avons survolé jusqu’ici les équations qui n’admettent pas de second membre. Voyons celles qui sont égales à une fonction \(g.\)

 

Équations avec second membre

Le mode d’emploi comprend trois étapes : on détermine une solution particulière par identification, on résout l’équation différentielle sans second membre (parfois appelée équation homogène) comme on l’a vu plus haut et enfin on additionne les deux « solutions ». C’est le principe de superposition.

Des équations plus complexes, mais toujours linéaires, font intervenir d’autres ordres. Du coup, certains utilisent une notation différente : \(af’’ + bf’ + cf = g\) est une équation du second ordre à coefficients constants (\(g\) est une fonction). On voit pourquoi on appelle ces équations LINÉAIRES : nous sommes en présence d'une combinaison linéaire qui appartient à l’espace vectoriel \(E(f,f’,f’’).\)

Les coefficients ne sont pas forcément constants. Exemple : \(xf’ + f = g.\)

Les équations non linéaires sont celles où la fonction se multiplie à elle-même ou à l’une de ses dérivées. Exemple : \(f’^2 + ff’’ = g.\) Il n’existe pas qu'UNE seule technique d’intégration.

Terminons cette page par deux exercices de niveau terminale (linéaires du premier ordre à coefficients constants).

 

Exercice 1

Soit l’équation \(E\) : \(2y’ + y = x + 4,\) définie sur \(\mathbb{R.}\) Déterminer une fonction affine solution de \(E.\)

 

Éléments de correction

Comme la dérivée de \(ax + b\) n’est autre que \(a,\) on peut remplacer les \(y,\) d’où \(2a + ax + b\) \(=\) \(x + 4.\) Par identification \(a\) est égal à 1 et il s'ensuit que \(b = 2.\) Donc \(y = x + 2.\)

Ensuite, attaquons-nous à l’équation homogène \(E_1\) : \(2y’ + y = 0.\)

On a vu que l’on résolvait facilement l'équation \(y’ = -\frac{1}{2}y\) et que \(y = ke^{-\frac{1}{2}x}.\)

Quel est le lien entre ces deux questions ? La solution de \(E_1\) ajoutée à la fonction affine donne l’ensemble des solutions de \(E.\)

Donc \(f(x) = x + 2 + ke^{-\frac{x}{2}}.\)

Vérifions. Nous avons \(f’(x) = 1 - \frac{1}{2}ke^{-\frac{1}{2}x}.\) Remplaçons dans \(E.\)

\(2(1 - \frac{1}{2}ke^{-\frac{1}{2}}) + (x + 2 + ke^{-\frac{1}{2}x})\) \(=\) \(x + 4\) c’est-à-dire \(2 - ke^{-\frac{1}{2}x} + x + 2 + ke^{-\frac{1}{2}x}\) \(=\) \(x + 4.\)

Impeccable, quel que soit \(k.\)

On peut aussi poser une condition pour connaître \(k.\) Mettons que la dérivée s’annule pour \(x = 0.\) On a alors \(1 - \frac{1}{2}k = 0\) donc \(k = 2.\)

Comme vous êtes déjà féru d’équations différentielles, voici un autre exercice.

 

Exercice 2

Sur le même principe, intégrer \(E\) : \(3y’ + 2y = x^2 - 4x + 2.\)

 

Éléments de correction

Déjà répondu ? Bravo. Par acquit de conscience, voici quand même un corrigé.

Cherchons une solution de type \(ax^2 + bx + c.\) La dérivée est \(2ax + b\). Remplaçons.

\(3(2ax + b) + 2(ax^2 + bx + c)\) \(=\) \(x^2 - 4x + 2.\) Donc \(2ax^2 + (6a + 2b)x + 3b + 2c\) \(=\) \(x^2 - 4x + 2.\) C’est une identification facile. \(a = 0,5,\) \(b = -3,5\) et \(c = 6,25.\) Donc \(y = 0,5x^2 - 3,5x + 6,25.\)

Deuxièmement, on pose \(3y’ + 2y = 0.\) On se reporte alors à notre bonne vieille formule, soit \(y’ = -\frac{2}{3}y\) qui se traduit par \(y = ke^{-\frac{2}{3}x}.\)

Par conséquent, \(f(x)\) \(=\) \(0,5x^2 - 3,5x + 6,25 + ke^{-\frac{2}{3}x}\) et \(f’(x)\) \(=\) \(x - 3,5 - \frac{2}{3}ke^{-\frac{2}{3}x}.\)

 

équadiff