Dans un livre de maths, on repère vite les intégrales, avec leur opérateur particulièrement décoratif (l’intégrateur), qui ressemble à un S élastique sur lequel on a trop tiré (c'est d'ailleurs bien un S, symbole d'une somme). Elles servent notamment à mesurer une AIRE entre deux valeurs (éventuellement infinies), l’axe des abscisses et la courbe représentative d’une fonction continue (voire prolongée par continuité).

En analyse, il est primordial de savoir manier l'intégration, non seulement pour les calculs d'aires, mais aussi parce que certaines fonctions ne sont définies que par leur intégrale (intégrales de Poisson, de Fresnel, fonctions eulériennes, etc.). Certaines suites aussi, d'ailleurs...

Supposons deux valeurs a et b avec b > a et une fonction continue positive entre ces deux valeurs.

La somme de a à b de la fonction f(x) dx s’écrit (le « dx » est le symbole différentiel) :

a et b sont les bornes de l'intégrale. Évidemment, si elles sont égales, l’intégrale est nulle. Sinon, la valeur obtenue exprimée en unités d’aire (u.a.) est égale à une primitive en b moins une primitive en a, soit F(b) – F(a). Une u.a. est l'aire du rectangle construit à partir des deux normes du plan (une largeur de 1 et une hauteur de 1). Comme une intégrale détermine une aire, elle ne peut pas être négative.

On utilise LA primitive sans constante : on voit bien qu'une constante serait soustraite à elle-même.

Prenons un exemple simple, tiré de l’épreuve du bac ES (juin 2007, Amérique du nord) :

La fonction est bien sûr continue entre 1 et 3. Le quotient est sous forme u’ / u à condition de le multiplier par ½. C’est une dérivée logarithmique. On indique la primitive entre crochets puis on soustrait F(3) – F(1) :

Notez que cette fonction est négative sur l'intervalle étudié. L'intégrale est donc négative mais une aire se mesure, comme une distance, par une valeur POSITIVE. L'aire déterminée par ce calcul serait donc égale à la valeur absolue du nombre trouvé.

Propriétés

Elles sont assez intuitives. La croissance de l'intégrale : ∀ x ∈ [a , b], si f(x) > g(x) alors...

La relation de Chasles s'applique au calcul des aires…

Il s'ensuit que :

À l'instar de la dérivation, l'intégration est une opération linéaire :

Si g est une fonction supérieure ou égale à f sur [a ; b], l’aire située entre les deux bornes et les deux courbes représentatives des fonctions est égale à…

Si l’on combine cette formule avec la relation de Chasles, on peut calculer une aire entre deux courbes qui se croisent. À partir du graphique ci-dessous, comment déterminer l’aire entre a et c sachant que les courbes se croisent en b ?

Réponse :

Un calcul d’aire nécessite l’étude du signe d’une fonction. S’il s’agit comme ici d’une aire entre deux courbes, il est évident qu’il faut d'abord déterminer laquelle se situe au-dessus et, le cas échéant, en quel(s) point(s) les deux fonctions s’égalisent.

Exemple de calcul d’aire entre deux fonctions : voir en bas de page indice de Gini.

Enfin, l'inégalité de la moyenne :

Les intégrations trop rétives peuvent souvent être résolues par la technique de l’intégration par parties et / ou par changement de variable.

L'intégrale permet non seulement de déterminer une aire mais aussi la valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle (voir page moyenne).

À l’instar des dérivées successives, on calcule des intégrales doubles, triples, etc.

Dans un espace à trois dimensions, l'intégration permet de déterminer des volumes.