Sommes de Darboux
Vous savez que le calcul de l'intégrale d’une fonction continue sur un intervalle nécessite celui d’une primitive, voire d'un laborieux comptage manuel d'unités d'aire à partir d'une représentation graphique. Fort bien. Cependant, la définition de l’intégrale ne s’appuie ni sur la continuité ni sur la notion de primitive. Il est possible d’en trouver une valeur approchée pour certaines fonctions non continues et dont le calcul de primitive est impossible.
En effet, si l’on trace leurs représentations graphiques, il semble évident qu’une aire délimitée par la courbe sur un intervalle donné existe bel et bien. Mais alors, l’intégrale ne sera pas calculée algébriquement comme vous avez l’habitude de le faire et c’est la notion de limite qui interviendra.
Exemple
Revenons sur la logique de l’intégration à partir d’un exemple. Celui-ci s’appuiera sur une fonction dont l’intégrale se calcule parfaitement bien, la fonction logarithme népérien. Par commodité, nous travaillerons sur l’intervalle \([2\,; 5].\)
Ce n’est pas tricher que d’avoir en tête le résultat donné par la calculatrice (ou par le calcul si vous êtes courageux) : environ 3,6608952.
Découpons l’intervalle \([2\,;5]\) en trois parties égales. Donc \([2\,;3],\) \([3\,; 4]\) et \([4\,; 5].\) Sur chacun de ces intervalles partiels nous pouvons déterminer l’intégrale d’une fonction constante. L’aire délimité par une telle fonction est un banal rectangle. Comme hauteur de ce rectangle, prenons la valeur prise par la fonction logarithme par la borne inférieure de l’intervalle. Cette fonction étant strictement croissante, on obtient trois rectangles dont la somme des aires est inférieure à celle de l’intégrale cherchée.
L’illustration ci-dessous a été réalisée avec GeoGebra. Vous avez reconnu en vert la représentation de la fonction \(\ln.\)
La somme des aires des rectangles n’est pas très difficile à calculer ! Elle vaut \(\ln 2 + \ln 3 + \ln 4\) soit environ 3,178.
Bien entendu, si la valeur prise par chacune des trois fonctions constantes est égale à la valeur prise par la borne SUPÉRIEURE, la somme des aires des trois rectangles est supérieure à l’intégrale de la fonction logarithme (et ce serait le contraire si la fonction était décroissante).
La somme des trois « grands » rectangles vaut \(\ln 3 + \ln 4 + \ln 5\) soit environ 4,094.
Ô surprise, \(3,178 < 3,6608952 < 4,094.\)
Vous avez compris le principe.
L’encadrement est assez grossier mais rien ne nous empêche de diviser nos intervalles par deux, ce qui nous fait six rectangles.
Pour ceux qui sont situés sous la courbe, l’aire totale vaut alors \(0,5 \ln 2 + 0,5 \ln 2,5…\) soit environ 3,426.
Quant à la somme des aires de ceux qui dépassent la courbe, elle s’établit à environ 3,884 (vous êtes priés de vérifier au lieu de lire confortablement).
L’encadrement s’est resserré. Nous savons à présent que :
\[3,426 < \int_2^5 {\ln xdt < 3,884} \]
Si nous découpions les intervalles à l’infini, nous obtiendrions alors la vraie valeur de l’intégrale. Mais comme vous le savez, l’infini ne peut être appréhendé que par un calcul de limite. Théoriquement, on peut donc encadrer la valeur d’un intervalle de façon « infiniment précise » (mais en pratique, les algorithmes ne tournent pas indéfiniment !).
Le logiciel SineQuaNon permet de représenter les rectangles et de fournir le résultat du calcul. Nous allons donc affiner notre résultat mais cette fois avec le logiciel. Dans la barre de menu nous choisissons « Calculs » puis « Intégration… ». Là il suffit d’entrer l’expression de la fonction, les bornes de l’intervalle, le nombre de segments (nous en demanderons 20) et la méthode : nous choisissons l’encadrement par des rectangles. SineQuaNon propose aussi les rectangles point-milieu et la méthode des trapèzes. La case « Afficher l’encadrement ou l’approximation obtenu » doit être cochée.
L’encadrement est évidemment plus précis qu’avec six rectangles.
Notez que le symbole différentiel \(d\) prend ici tout son sens. Il faut lire que l’intégrale est la somme, entre 2 et 5, de \(n\) rectangles dont la hauteur est \(\ln x\) et la largeur est \(t.\)
Généralisation
Bien sûr, ceci ne fonctionne pas que sur la fonction logarithme. Nous allons donc la remercier pour ses services et nous situer dans le cas général d’une fonction monotone sur un intervalle.
Soit \(n\) le nombre de rectangles, \(a\) la borne inférieure et \(b\) la borne supérieure de l’intervalle sur lequel une fonction \(f\) est non sulement définie mais bornée et continue. La largeur de chaque rectangle est donc de \(\frac{b-a}{n}.\)
Nous l'avons montré avec un exemple, plus \(n\) est élevé et mieux les rectangles épousent la forme de la courbe. L’encadrement autour de la valeur de l’intégrale se resserre.
Nous avons aussi vu qu’elle est encadrée par deux sommes de \(n\) termes (graphiquement, par deux aires). Elles sont appelées sommes de Darboux. On notera \(s_n\) la plus petite et \(S_n\) la plus grande. Par conséquent :
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } ({S_n} - {s_n}) = 0\)
\(n\) étant un entier naturel, \((S_n)\) et \((s_n)\) sont tout simplement des suites. L’une est croissante et l’autre est décroissante. Donc à l’infini ces suites sont adjacentes et elles convergent vers une même limite qui est 0.
À ce stade, vous avez compris qu’il n’est pas nécessaire de calculer une primitive pour déterminer la valeur d’une intégrale. Mais vous avez aussi deviné qu’une fonction qui n’est pas continue peut malgré tout être intégrée pour peu qu’une discontinuité coïncide avec la borne d’un intervalle partiel.
