Si vous souhaitez faire votre éducation en matière de valeur absolue, vous ne pouviez pas mieux tomber. Cette page vous initie en effet à cette opération simple mais riche d’implications, expression mathématique de la « positive attitude ».

La valeur absolue renvoie la valeur positive d’un nombre ou d’une expression algébrique, indiqués pour l’occasion entre deux petits traits verticaux. Elle est parfois appelée module. Ce terme de module est surtout utilisé pour désigner la distance (positive) entre l’origine et le point d’affixe z d’un nombre complexe. D’une façon plus générale, une distance est toujours une valeur absolue. Elle est la même entre x et y qu’entre y et x. En d’autres termes, |x – y| = |y – x|. Sur cette page, il sera davantage question de la manipulation des valeurs absolues que de leur interprétation en termes de distance.

Aucune difficulté pour déterminer la valeur absolue d’un réel. |3| = |-3| = 3. Si le réel est positif, il est égal à sa propre valeur absolue mais s’il est négatif, il faut le multiplier par -1.

Donc, |x| = x si x > 0 et |x| = -x si x < 0.

Une façon équivalente d’obtenir la valeur absolue d’un nombre est de « calculer » la racine carrée de son carré.

Inégalités triangulaires

|x + y| ≤ |x| + |y| et |x| – |y| ≤ |x – y|

D’autres propriétés sont assez évidentes. Par exemple |x| × |y| = |x × y|. Mais attention, la somme des valeurs absolues n'est pas forcément égale à la valeur absolue de la somme.

Opérations

Les inéquations avec valeur absolue, du niveau d’un enseignement de seconde, permettent une bonne introduction aux subtilités de calcul.

Soit |x – 1| > 2. Le nombre 1 est un pivot sur lequel l’expression |x – 1| est nulle mais autour duquel (x – 1) devra ou non être multiplié par -1. Ainsi, si x > 1, |x – 1| = x – 1 et les solutions sont ]3 ; +∞[. Mais si x < 1, alors |x – 1| = -x + 1 et les solutions sont ]-∞ ; -1[.

Voyons à présent une équation un peu moins simple : |x – 3| – |4 – x| = 1

Étudions les différentes possibilités dans un tableau. Soit |x – 3| – |4 – x| – 1 = 0.

Si x < 3, on obtient -2 = 0 ce qui est impossible. Si x se situe entre 3 et 4, on obtient x = 4, ce qui n’est pas possible non plus.

En revanche, si x = 4, la solution est valide. |4 – 3| – |4 – 4| = 1.

Et au-delà de 4 ? On trouve 0 dans le tableau. Quel que soit x ≤  4, l’équation fonctionne.

Par exemple, |100 – 3| – |4 – 100| = 97 – 96 = 1.

Donc, S = [4 , +∞[

La fonction valeur absolue

La fonction est définie sur l’ensemble des réels. C’est une fonction linéaire par morceaux, continue et paire. Elle est dérivable partout sauf en zéro (la « courbe » présente ici un point anguleux). La dérivée est égale à -1 lorsque x est négatif et à 1 pour ses valeurs positives. Les limites à ±∞ sont +∞. Représentation graphique obtenue par une calculatrice en ligne gratuite (grapheur.cours-de-math.eu) :

Pour étudier une fonction qui comporte une ou des valeurs absolues, il faut retirer celle(s)-ci puis explorer les différents cas.

Exercice : à quoi peut bien ressembler la fonction suivante ?

f(x) = |x – 2| + 2|x + 4| – |3 – x|

Réponse :

Il s’agit d’une fonction affine par morceaux dont la représentation apparaît sous vos yeux (réalisation sur SineQuaNon)…

Amusement : courbe représentative de la fonction trinôme f(x) = |x² – 2x – 4|

On voit que la partie négative d'une parabole est « repliée » en zone positive…

Voir aussi des représentations graphiques d'inégalités en page voisinage.