Temps continu en mathématiques financières
Cette page peut sembler un peu théorique. La problématique du temps continu en finance est cependant très ancienne puisque c'est en travaillant dessus que Jacques Bernoulli a découvert en 1685 le nombre e (base des logarithmes népériens). Rien de moins.
Problématique
Il est habituel de déterminer des remboursements mensuels à partir d’un taux d’intérêt annuel (voir les exemples de prêts immobiliers). Il est tout aussi habituel de décomposer un taux composé sur une durée donnée de façon à obtenir son taux équivalent sur une durée plus courte. Mais parfois, on peut considérer des laps de temps encore plus fins, voire infiniment petits. On estime alors que le versement des intérêts est parfaitement continu dans le temps. Notamment, certains modèles financiers ont pu voir le jour puis être appliqués grâce à cette simplification de la réalité qui considère le temps économique comme continu et non calqué sur des dates.
Démonstration
Rappel sur le taux équivalent : soit \(i\) le taux composé annuel. Le taux équivalent pour une période \(p\) est tel que \((1 + i_p)^p\) \(=\) \(1 + i.\) Jusqu'ici, rien de compliqué puisque c'est du niveau de ce qui est enseigné au lycée (voir les évolutions successives).
Ces valeurs étant positives, l’égalité reste valable si l’on utilise les logarithmes. Ainsi, \(\ln(1 + i)\) \(=\) \(p \ln (1 + i_p).\)
Par ailleurs, si l’on découpe le temps en « durées » infiniment petites, on obtient évidemment la limite suivante :
\[\mathop {\lim }\limits_{p \to + \infty } {i_p} = 0\]
Enfin, rafraîchissons-nous la mémoire sur des fonctions équivalentes. En zéro, nous avons \(\ln (1 + x) \sim x.\)
Du coup, si \(p\) tend vers l’infini, \(\ln(1 + i_p)\) est équivalent à \(i_p.\) Donc, en remplaçant dans notre égalité une fonction par son équivalente, il appert que \(\ln (1 + i) \sim pi_p.\)
Il s’ensuit que :
\[\frac{\ln(1 + i)}{p} \sim i_p\]
Le taux annuel continu, encore appelé taux instantané, est donc \(\ln (1 + i).\) Inversement, on peut écrire que le coefficient multiplicateur du taux annuel \(1 + i\) est égal à l’exponentielle du taux annuel continu.
Exemples
Soit un taux annuel discret de \(4\%.\) À combien s’établit le taux annuel continu ?
Réponse : \(\ln (1 + 0,04) = 3,92\%\)
Le taux continu est toujours inférieur au taux discret.
Réciproquement, soit un taux annuel continu de \(3,92\%.\) Quel est le taux discret qui lui correspond ?
Réponse : \(e^{0,0392} - 1 = 4\%.\) Évidemment.
Autre exemple : soit la somme de 10 000 pesos placés à un taux continu de \(5\%.\) À combien s’élèvera le capital deux ans plus tard ?
Réponse : \(10\,000 × e^{(2 × 0,05)}\) \(=\) \(11\,051,71\) pesos.
Inversement, on peut s’intéresser à la valeur actuelle, c’est-à-dire à la somme qu’il faut placer aujourd’hui pour obtenir une somme donnée au bout d’une durée déterminée.
Quelle est la valeur actuelle d’une somme de 10 000 pesos dans deux ans au taux continu de \(5\%\) ?
Réponse : \(10\,000 × e^((-2 × 0,05)\) \(=\) \(9\,048,37\) pesos.
À titre de comparaison, avec des intérêts composés annuels, on aurait :
\(10\,000 × 1,05^{-2}\) \(=\) \(9\,070,30\) pesos.
Prolongements
Bien. Maintenant que vous êtes convaincu que ce n’est pas très compliqué, voyons une problématique un peu différente, celle des flux financiers pour lesquels il n’y a pas de somme empruntée au départ mais juste une suite de versements réguliers (rente). Ceux-ci peuvent être constants, quelconques, en progression arithmétique ou en progression géométrique.
Versements réguliers : on verse le même montant tous les mois (par exemple). Les valeurs acquises sont donc décroissantes au fur et à mesure que l’on va dans le temps.
Soit \(m\) ce versement mensuel. Soit \(n\) le nombre de mois total. Soit \(j\) le taux mensuel continu. Le niveau des valeurs acquises est une fonction décroissante du temps \(t.\)
\(f(t) = m \times e^j(n-t)\)
La valeur acquise est donc le résultat d’une intégration puisqu’elle résulte d’une somme de versements :
\[m\int_0^n {{e^{j(n - t)}}} dt = m\left[ { - \frac{{{e^{j(n - t)}}}}{j}} \right]_0^n\]
Quant à la valeur actuelle, elle s’établit comme suit :
\[m\int_0^n {{e^{ - jt}}} dt = m\left[ { - \frac{{{e^{ - jt}}}}{j}} \right]_0^n\]
Versements quelconques : il faut remplacer le versement mensuel \(m\) par une fonction de densité, que l’on suppose évidemment connue…
Versements en progression arithmétique : voir la rente en progression arithmétique.
Versements en progression géométrique : voir la rente en progression géométrique.
