Rentes en progression géométrique (discrètes et continues)
Cette page démontre une formule de rente en progression géométrique, c’est-à-dire du placement à un taux d'intérêt composé fixe d’une suite d’annuités qui elles-mêmes évoluent d’un pourcentage toujours identique. Après avoir détaillé le cas du taux discret, nous verrons quelles formules appliquer pour un calcul en temps continu.
Taux discret
Cherchons quelle peut être la valeur acquise d’une suite de \(n\) annuités, chacune d'elles étant d'un montant égal à celui de l'annuité précédente, majorée ou minorée par un même taux \(g.\) Chaque annuité perçue est aussitôt placée à un taux d’intérêt \(i.\) Soit \(a_1\) le montant de la première annuité. C’est donc le premier terme d’une suite géométrique de raison \(q = 1 + g.\)
Rappelons qu’une valeur acquise est le cumul des annuités et des intérêts qu’elles ont produits. En l’occurrence, son expression est d’une écriture un peu longue puisqu’elle est composée d’annuités différentes affectées d’un taux d’intérêt qui court chaque fois sur une période différente.
\(V_n\) \(=\) \(a_1(1 + i)^{n-1}\) \(+\) \(a_1q(1 + i)^{n-2}\) \(+\) \(a_1q^2(1 + i)^{n-3}\) \(+\) \(...\) \(+\) \(a_1q^{n-2}(1+i)\) \(+\) \(a_1q^{n-1}\)
Évidemment, il nous faut simplifier ce monstre…
La factorisation par \(a_1\) est évidente mais elle serait incomplète pour nous amener à une formule intéressante. Il faut aussi factoriser par \((1 + i)^{n-1}.\)
\(V_n\) \(=\) \(a_1(1 + i)^{n-1}\)\([1\) \(+\) \(\frac{q}{1 + i}\) \(+\) \(\frac{q^2}{(1 + i)^2}\) \(+\) \(...\) \(+\) \(\frac{q^{n-1}}{(1 + i)^{n-1}}]\)
C’est la somme des \(n\) premiers termes d’une suite géométrique de premier terme \(a_1 (1 + i)^{n-1}\) et de raison \(\frac{q}{1 + i}.\) Au risque de paraître un peu lourd, nous la réécrivons de façon à la faire apparaître de manière encore plus évidente…
\(V_n\) \(=\) \(a_1(1 + i)^{n-1}\)\([(\frac{q}{1 + i})^0\) \(+\) \((\frac{q}{1 + i})^1\) \(+\) \((\frac{q}{1 + i})^2\) \(+\) \(...\) \(+\) \((\frac{q}{1 + i})^{n-1}]\)
On peut dès lors utiliser la formule de la somme des \(n\) premiers termes de la suite.
\[V_n = a_1(1+i)^{n-1}\frac{(\frac{q}{1 + i})^n - 1}{\frac{q}{1 + i} - 1}\]
Il est encore possible de simplifier.
\[V_n = a_1(1 + i)^{n-1} \frac{\frac{q^n - (1 + i)^n}{(1 + i)^n}}{\frac{q - (1 + i)}{1 + i}}\]
Bon d’accord, ce n’est pas plus simple. Mais attendez la suite.
\(V_n\) \(=\) \(a_1(1 + i)^{n-1}\)\(\frac{q^n - (1 + i)^n}{(1 + i)^n}\) \(\times\) \(\frac{1 + i}{q - (1 + i)}\)
\(\Leftrightarrow V_n = a_1 \frac{q^n - (1 + i)^n}{q - (1 + i)}\)
\[\Leftrightarrow V_n = a_1 \frac{(1 - g)^n - (1 + i)^n}{g - i}\]
Voici donc la forme « épurée ».
À présent, passons sans démonstration à la valeur ACTUELLE. Celle-ci se présente ainsi (\(k\) est le taux d’actualisation) :
\[V_0 = \frac{a_1}{g - k} \left[\left(\frac{1 + g}{1 + k}\right)^n - 1 \right]\]
Compte tenu de la complexité de la formule, vous pouvez la trouver réécrite de plusieurs façons différentes selon les manuels.
Si \(g < k,\) la valeur actuelle d’une rente PERPÉTUELLE à progression géométrique est \(V_0 = \frac{a_1}{k - g}.\)
Mais elle est indéterminée si \(g \geqslant k.\)
Cas particuliers :
Si \(g = i,\) alors \(V_n\) \(=\) \(na_1(1 + i)^{n-1}\) et \(V_0 = \frac{na_1}{1 + k}\)
Si \(g = 0,\) alors vous pouvez vérifier que l’on retombe bien sur les formules de la rente à annuités constantes.
Taux continu
On parle dans ce cas de rente à densité exponentielle.
Soit une fonction exponentielle du temps \(a(t) = αe^{λt}\) qui représente le flux continu des versements. Soit un taux continu \(j\) appliqué à l’unité de temps \(t.\) La valeur acquise entre les temps 0 et \(θ\) s’obtient par une intégrale.
\[{V_\theta } = \alpha {e^{j\theta }}\int\limits_0^\theta {{e^{t(\lambda - j)}}dt} \]
\[ \Leftrightarrow {V_\theta } = \alpha \frac{{{e^{\lambda \theta }} - {e^{j\theta }}}}{{\lambda - j}}\]
Quant à la valeur actuelle…
\[{V_0} = \alpha \frac{{{e^{\lambda \theta }} - 1}}{{\lambda - j}}\]
