Je ne fais pas ça pour vous embrouiller mais sous ce titre d’« annuités » se cachent aussi des MENSUALITÉS puisque, mathématiquement, il n’y a pas de différence dans les formules.

Sur cette page, il est aussi bien question d’annuités de PLACEMENT que de REMBOURSEMENTS d’emprunts.

Une annuité comprend une part de remboursement du capital (amortissement) et une part d'intérêt (plus éventuellement une part d'assurance).

Par rapport au plan de remboursement (ou de placement), l’annuité peut être anticipée, de début de période, à terme échu ou différée.

Selon qu’on se place au début des périodes ou a posteriori, on calculera une valeur actuelle ou une valeur acquise. La nuance apparaîtra dans les exemples qui suivent.

Enfin, les annuités peuvent être constantes ou en progression géométrique (voire quelconques ou en progression arithmétique mais on ne verra pas ces situations ici).

Annuités constantes

Le total des remboursements suit une progression arithmétique ayant pour raison le montant de l'annuité (évident).

Notons V₀ la valeur actuelle, V_n la valeur acquise à la date n et a le montant de l’annuité. Comme toujours, i est le taux d’intérêt. Si les annuités sont à termes échus, nous aurons (moins évident) :

Attention, si les annuités sont à terme à échoir, il convient de multiplier ces quotients par (1 + i).

Avouez-le, vous souhaitez des exemples.

Vous versez 2 000 euros chaque année pendant 10 ans sur un support qui vous rapporte 4 % par an. Formule des intérêts composés. Versements  en début de période. Voici le détail des V_n sur tableur :

Sur Excel, on obtient le même résultat par =VC(0,04 ;10 ;-2000 ;;1). Le premier terme de la fonction est i, le deuxième est le nombre de versements, le troisième est affecté d’un signe négatif car Excel raisonne en remboursements et non en placements, le quatrième (valeur actuelle) est ici omis et le dernier (1) signifie « début de période » (0 ou rien si fin de période).

Autre exemple, celui d’un remboursement. Vous empruntez 100 000 dollars au taux annuel de 6 %, que vous remboursez par mensualités constantes (dès le premier mois) sur 3 ans. À combien s’élève chaque mensualité ?

Il s’agit cette fois de déterminer le a de la formule V₀. On cherche d’abord le taux équivalent mensuel i qui est une moyenne géométrique. C’est la racine douzième de 1,06 moins 1. On trouve 0,486755 %. V₀ est égal à 100 000 et n = 36. Supposons la situation classique d’un remboursement en fin de période. Le résultat est alors 3 035 dollars. Sans connaître la formule on peut là aussi utiliser Excel, cette fois à l’aide de la fonction VPM. Notons au passage qu’en multipliant cette somme par 36, on obtient 109 260 dollars, soit un coût du crédit de $ 9 260.

Annuités en progression géométrique

Une progression géométrique est utilisée pour prendre en compte une inflation prévisible ou l’accroissement d’activité d’une entreprise.

Théoriquement, la valeur actuelle et la valeur acquise sont liées par une banale formule de suite géométrique, V_n = V₀(1 + i)ⁿ. La raison q est éventuellement égale à (1 + i) et le premier terme V₀  représente n fois la première annuité (du moins si les annuités sont de début de période ; sinon, divisez par 1 + i). Par conséquent, si a est la première annuité, V_n = na(1 + i)^n-1 si les annuités sont à terme échu et V_n = na(1 + i)ⁿ si elles tombent en début de période.

Mais la raison de la suite n’est généralement pas égale à (1 + i). Elle représente un taux d’actualisation. Ce peut être un taux d’inflation estimé ou quelque chose de plus subjectif, incluant une prime de risque et le principe de préférence pour jouissance immédiate. Bref, un joyeux fourre-tout parfaitement critiquable mais dont l’existence se doit d’être prise en considération. Ce peut aussi être un taux de revalorisation.

Si les annuités sont à termes échus, la valeur acquise est la suivante :

Lorsque les termes sont à échoir, multipliez par (1 + i) pour tenir compte de la période supplémentaire.

La valeur actuelle se présente ainsi :

Là encore, multipliez par (1 + i) si les annuités sont de début de période (c’est-à-dire que le dénominateur est élevé à la puissance n – 1).

Exemple : vous placez annuellement une somme durant cinq ans. Le premier versement est de 10 000 dirhams et les suivants sont basés sur un taux d’actualisation, ou d’inflation, de 6 %. Les intérêts sont versés en fin de période, au taux de 5 %. Quelle sera la valeur acquise au bout des cinq ans ?

Réponse :

Je le vérifie sur le logiciel CalcFinance. Menu Calculs financiers puis Conseiller épargne. Montant initial de l’épargne égal à zéro. Cocher Indexer les versements sur l’inflation et Versement en fin de période. Le renseignement des autres paramètres va de soi.

Extrait d’un état de sortie du logiciel (Plan d’épargne) :