Les suites numériques

Généralités sur les suites

Très vaste sujet que les suites, aux domaines d'application particulièrement étendus... En France, les élèves les découvrent en classe de première, toutes filières confondues (voir l'initiation aux suites).

 

Présentation

Une suite numérique est une liste ordonnée de nombres. Celle-ci commence généralement par un numéro zéro ou un numéro 1. À chaque numéro (rang), c'est-à-dire chaque entier naturel pour laquelle la suite est définie, correspond une valeur (terme). Une suite est donc une fonction d'une variable telle qu'enseignée au lycée, sauf que les antécédents ne peuvent prendre que des valeurs entières.

Par tradition, le nom d'une suite s'écrit entre parenthèses, avec un indice général \(n.\) Ainsi, \((u_n)\) est une application \(u\) de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R},\) dont le énième terme, ou terme général, est noté \(u_n,\) tout comme une application d'un antécédent \(x\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) peut s'écrire \(f(x).\) En pratique, \(n\) est souvent une date ou une période déterminée et \((u_n)\) peut prendre n’importe quelle valeur réelle, voire complexe (mais on n'évoquera pas ici ce type de suite).

Graphiquement, les suites numériques sont représentées dans un plan normé soit sous forme de points (surtout en classe de première), soit en escaliers (rarement), soit comme une fonction continue (voir en page représentation des suites).

Lorsqu'une suite est structurée (ce qui n'est pas toujours le cas, voir plus bas), elle se définit soit par un terme général (comme toute fonction) soit par son premier terme complété d'une relation de récurrence. Prenons par exemple la suite des entiers pairs. Le terme général est \(u_n = 2n.\) Ainsi, le troisième terme de la suite est \(2 × 3 = 6.\) Quant à la relation de récurrence, elle consiste à poser \(u_0 = 0\) puis \(u_{n+1} = u_n + 2.\) Il faut avoir calculé \(u_1\) et \(u_2\) pour déterminer \(u_3.\) Une autre façon d'exprimer une suite est la sommation : on indique quels sont les premiers termes puis, après quelques points de suspension, on écrit le énième. Ce système de notation permet aussi d'écrire les sommes partielles des premiers termes d'une suite (chaque terme intègre la somme des termes précédents). Mais il s'agit là d'un type particulier de suite nommé série. Les tableurs sont très pratiques pour déterminer les termes d'une suite structurée (Cf. la page sur les suites géométriques avec Excel).

Une suite est croissante sur un intervalle donné si pour tout entier naturel \(n\) de cet intervalle, \(u_n \leqslant u_{n+1}\) et bien sûr décroissante si c'est \(u_{n+1}\) qui est toujours inférieur à son terme précédent. Elle est monotone lorsqu'elle est toujours croissante ou toujours décroissante. Une suite est périodique de période \(p\) lorsque, pour tout \(n in \mathbb{N},\) \(u_{n+p} = u_n.\) Tous les détails en page de sens de variation des suites.

Une suite est positive si TOUS ses termes sont positifs (et négative s'ils sont tous négatifs).

suite croissante

Une autre notion importante est celle de majoration (et de minoration). Une suite est majorée s’il existe un réel \(M\) tel que toute valeur de la suite est inférieure ou égale à \(M.\) Elle est minorée s’il existe un réel \(m\) tel que toute valeur de la suite est supérieure ou égale à \(m.\) Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée. Le premier terme d'une suite est donc le minorant d’une suite croissante et le majorant d’une suite décroissante.

 

Limites

Voir les pages d'initiation aux limites de suites (avec représentations graphiques) et sur les limites de suites (pour des définitions plus rigoureuses). Si la suite est exprimée par une formule explicite, faites un tour en page de limites de fonctions car on utilise souvent les mêmes techniques pour déterminer les limites de suites (sachant que l'on ne s'intéresse qu'à une seule limite, en l'occurrence plus l'infini).

 

Suites adjacentes

Nous observons deux suites. L’une est croissante, l’autre est décroissante. Vont-elles se croiser ? Non, mais elles convergent vers la même limite (à l’infini, la limite de leur différence est égale à zéro). Voir la page qui traite des suites adjacentes.

Voyons à présent quelques types de suites.

 

Quelques types de suites

En premier lieu, une suite peut être QUELCONQUE. Elle est parfois résumée par un terme général ou par une relation de récurrence mais elle ne peut être qualifiée comme faisant partie des catégories ci-dessous.

Suite arithmétique : après la suite constante, elle est la plus simple. C'est par elle que les lycéens découvrent les suites (voir la page suites arithmétiques avec Excel).

Pour tout entier naturel \(n,\) on a \(u_{n+1} = u_n + r.\) Le réel \(r\) est appelé la raison. C'est par exemple le montant d'intérêts simples que rapporte un capital. Si \(u_0\) est le premier terme, \(u_n = u_0 + rn.\)

Graphiquement, les valeurs de la suite peuvent être reliées par une droite, dont \(r\) est le coefficient directeur.

La somme des \(n + 1\) premiers termes de la suite est donnée par la formule suivante :

\[S_n = (n + 1)\frac{u_0 + u_n}{2}\]

Celle-ci ne vaut que si le premier terme est \(u_0,\) ce qui n’est pas toujours le cas. C’est pourquoi on peut préférer l’expression :

somme des 1ers termes d'une suite arithmétique

Ainsi, la somme des \(n\) premiers entiers naturels est égale à \(\frac{n(n + 1)}{2}.\) Si par exemple \(n = 3,\) nous obtenons \(1 + 2 + 3 = 6\) et nous vérifions bien \(\frac{3 × (1 + 3)}{2}\) \(= \frac{12}{2}\) \(= 6.\) C'est tout simplement la moyenne arithmétique entre le premier terme et le dernier, multipliée par le nombre de termes.

Nous avons évoqué les suites arithmétiques d'ordre 1. Lorsque ce sont les différences entre \(u_n\) et \(u_{n+1}\) qui, au lieu d'être constantes, suivent elles-mêmes une suite arithmétique, on qualifie \((u_n)\) de suite arithmétique d'ordre \(p.\) Par exemple, la suite dont l'expression est \(n^p\) est arithmétique d'ordre \(p.\)

Suite géométrique : pour tout naturel \(n,\) on a \(u_{n+1} = qu_n,\) le réel \(q\) étant la raison. Formule explicite si \(u_0\) est le premier terme : \(u_n = u_0 × q^n.\)

Si \(q\) est différent de 1, la somme des \(n + 1\) premiers termes est :

\[S_n = u_0 \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\]

Pour illustrer, un salaire qui augmente de \(x\) euros chaque année suit une progression arithmétique tandis que s'il évolue de \(x\%,\) il suit une progression géométrique.

La plupart du temps, la raison est positive. Il existe toutefois une suite bien pratique où \(u_0 = 1\) et \(q = -1.\) Ainsi \(u_n = 1\) pour tout \(n\) pair et \(u_n = -1\) pour \(n\) impair.

Voir une application de cette somme avec la renégociation d'emprunt.

Dans la formule de calcul des intérêts composés, la raison est égale à 1 + taux d'intérêt. En pratique, une suite peut recevoir quelques aménagements (voir la page annuités constantes d'emprunt obligataire). Pour s'entraîner sur des exercices simples, voir les suites géométriques avec Excel et l'exercice sur la spirale.

Suite arithmético-géométrique (ou affine) : pour tout \(n \in \mathbb{N},\) la relation de récurrence est de la forme \(u_{n+1} = au_n + b.\)

Suite de variables aléatoires : on peut étudier des suites de variables aléatoires. En économie, c'est le cas de toutes les séries chronologiques. Mais si l'on modélise celles-ci par des fonctions affines, par exemple en procédant à des régressions linéaires simples, on obtient des séries chronologiques théoriques qui sont des suites arithmétiques. Les suites de variables aléatoires sont souvent notées \(X_n.\)

 

raison