Spirale de Théodore et exercice
Les suites se découvrent en classe de première et déjà apparaissent de multiples applications. Faisons la connaissance de deux « spirales » : celle de Théodore et une autre, assez proche, qui donnera lieu à la résolution d'un exercice sur les suites.
La spirale de Théodore
Théodore de Cyrène était un mathématicien grec. Il est né en -465, soit une trentaine d’années après la mort de Pythagore. Cyrène est une localité située sur la côte de ce qui est aujourd’hui la Libye. Il est possible que Théodore eût Platon pour élève. Il est resté célèbre pour s’être intéressé aux lignes « incommensurables ». Aujourd’hui, on dirait « nombres irrationnels ». Sa fameuse spirale en est l’illustration.
Soit un triangle rectangle isocèle dont les deux côtés perpendiculaires (les cathètes) mesurent 1. L’hypoténuse de ce triangle est la cathète d’un autre triangle rectangle dont l’autre cathète vaut 1. Et ainsi de suite. Il n’est pas difficile de construire la figure avec GeoGebra :
Cette spirale se prête bien à un exercice sur les suites. Considérons le point \(O\) commun à tous les triangles et les points \(A_0,\) \(A_1…\) \(A_n\) qui forment la spirale comme indiqué ci-dessous :
Soit \(u_n\) la longueur \(OA_n\) et soit \((u_n)\) la suite des valeurs \(u_n.\)
Sauriez-vous déterminer les premières valeurs de cette suite, conjecturer une expression explicite de \(u_n\) et établir une relation de récurrence ?
Selon l’énoncé, \(u_0 = 1.\)
\(u_1\) est l’hypoténuse du triangle rectangle dont les cathètes valent 1.
\(u_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2\) donc \(u_1 = \sqrt{2}\) puisqu’une distance est positive et qu’elle ne peut donc pas être égale à \(- \sqrt{2}.\) Calculons \(u_2.\)
\(u_2^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 = 3\) donc \(u_2 = \sqrt{3}.\)
On peut continuer ainsi et trouver que \(u_3 = \sqrt{4} = 2,\) \(u_4 = \sqrt{5}\) et ainsi de suite. Nous conjecturons que \(u_n = \sqrt{n + 1}.\)
La relation de récurrence est l'application du théorème de Pythagore : \((u_{n+1})^2 = u_n^2 + 1^2.\) Il s’ensuit que \(u_{n+1} = \sqrt{u_n^2 + 1}\)
Exercice
Soit à présent une autre spirale où \(OA_0\) est cette fois une hypoténuse de longueur 1 et où tous les triangles rectangles sont isocèles. Ceux-ci sont donc de plus en plus petits comme le montre la figure suivante, tracée jusqu’à \(A_6\) :
Soit \((u_n)\) la suite des longueurs \(OA_n\) avec \(n \in \mathbb{N}.\)
- Déterminer \(u_0,\) \(u_1,\) \(u_2\) et \(u_3.\)
- Montrer que la suite \((u_n)\) est géométrique.
- Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n.\)
- Donner une expression de la longueur de la ligne \(OA_1A_2…A_n\) et en déduire la longueur exacte de la spirale de \(A_0\) à \(A_6.\)
Corrigé commenté
1- D’après l’énoncé, \(u_0 = 1.\)
Comme le triangle est rectangle et isocèle, nous avons \(2u_1^2 = 1^2\) d’après le théorème de Pythagore. Donc \(u_1^2 = \frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(2u_2^2 = u_1^2\)
\(\Leftrightarrow u_2^2 = \frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow u_2^2 = \frac{1}{2}\)
\(2u_3^2 = u_2^2\)
\(\Leftrightarrow = u_3^2 = \frac{1}{8}\)
\(\Leftrightarrow u_3 = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}\)
2- Nous avons la relation de récurrence \(2u_{n+1}^2 = u_n^2\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)^2 = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{\Leftrightarrow \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
La suite est géométrique de raison \(q = \frac{1}{\sqrt{2}}.\)
3- Une suite géométrique s’exprime ainsi : \(u_n = u_0 \times q^n.\) Donc, en l’occurrence : \(\displaystyle{u_n = \frac{1}{{\sqrt{2}}^n}}\)
4- Remarquons d’abord que la somme des longueurs des cathètes extérieures à la spirale, c’est-à-dire \(A_0A_1 + A_1A_2 + … A_{n-1}A_n\) est donnée par la somme des \(n\) premiers termes de la suite \((u_n).\) C’est en effet la somme des longueurs des cathètes internes à la spirale mais les triangles étant isocèles, il suffit de poser la formule de la somme des \(n\) premiers termes d’une suite géométrique pour répondre à la question. Attention, le segment \([OA_0]\) est exclu du calcul. Notre somme commence donc à \(u_1.\)
\(u_1 + u_2 + … + u_n\) \(=\) \(\displaystyle{u_1\frac{1 - q^n}{1 - q}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1 - \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) ^n}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}}\)
La longueur de la spirale nous est donnée par la somme des six premiers termes de la suite \((u_n).\)
\(\displaystyle{\frac{1}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^6}}}{{\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 }}}}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{1}{{\sqrt 2 }} \times \frac{{1 - \frac{1}{8}}}{{\frac{{\sqrt 2 - 1}}{{\sqrt 2 }}}}}\)
Pour simplifier cette antipathique expression nous appliquons les règles des fractions…
\(= \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{7}{8} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{7}{8(\sqrt{2} - 1)}}\)
Afin de ne pas laisser de racine carrée au dénominateur nous recourons aux quantités conjuguées.
\(\displaystyle{= \frac{7(\sqrt{2} + 1)}{8(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{7\sqrt{2} + 7}{8(2 - 1)}}\) \(=\) \(\displaystyle{\frac{7 \sqrt{2} + 7}{8}}\)
