Racines carrées en seconde
Cette page vous propose quelques exercices sur les racines carrées de niveau seconde, sans calcul littéral, après un bref rappel théorique.
Rappels
Si l’on additionne des racines carrées, on ne peut généralement pas présenter leur somme de façon condensée : \(\sqrt 2 + \sqrt 3 = ...\) rien d’autre que \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) (à moins d’en donner une valeur approchée). Exceptions : si les racines sont des nombres entiers (ou, plus globalement, décimaux).
Ainsi \(\sqrt {25} + \sqrt 9\) \(= 5 + 3 = 8\)
En revanche, les multiplications vous permettent de faire… de passionnants exercices ! En effet, \(\sqrt a \times \sqrt b = \sqrt {ab}.\) Par exemple, \(\sqrt 2 \times \sqrt 3 = \sqrt 6 .\) Grâce à cette propriété, vous pouvez simplifier l’écriture de certaines racines. Exemple : \(\sqrt {147} = \sqrt {49 \times 3}\) \(= \sqrt {49} \times \sqrt 3\) \(= 7\sqrt 3 .\)
Même chose avec la division : \(\sqrt {\frac{a}{b}} = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\)
À savoir également : la racine carrée d'un nombre \(a\) est la même chose que \(a\) à la puissance 0,5. Les exercices qui suivent ne portent pas là-dessus. Mais si vous ne disposez que d'une petite calculatrice sans beaucoup de fonctionnalités (par exemple une appli de votre votre téléphone), vous pouvez obtenir une racine carrée de cette façon.
Exercices (sans calculatrice !)
1- Réécritures
a) Écrire sous forme \(\sqrt a, \) avec \(a\) entier naturel \(5\sqrt 2 \) et \(\frac{{\sqrt 3 \times \sqrt 6 }}{3}\)
b) Écrire sous forme \(a\sqrt b \) (\(a\) et \(b\) étant des entiers naturels) \(\sqrt {720} \) et \(\frac{{\sqrt {56} }}{{\sqrt {224} }}\).
2- Élimination du radical
Il est d’usage de ne pas laisser de racine carrée au dénominateur.
Exprimer les nombres suivants avec des nombres rationnels au dénominateur :
\(A = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\)
\(B = \frac{6}{{\sqrt {12} }}\)
3- Réécrire le nombre suivant de façon plus simple
\(A = \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {3 - \sqrt 3 } \right)\)
4- Quantités conjuguées
La quantité conjuguée de \(a + b\sqrt c \) est \(a - b\sqrt c \) et réciproquement. La multiplication par une quantité conjuguée permet d’éliminer un radical du dénominateur.
Réécrire les nombres suivants avec des dénominateurs entiers.
a) \(\frac{{5\sqrt 2 }}{{5 - \sqrt 2 }}\)
b) \(\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}\)
c) \(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }}\)
d) \(\frac{{\sqrt 2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }}\)
5- Démonstration
Démontrer que \(\sqrt {ab} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) avec \(a\) et \(b\) réels positifs.
Corrigé 1
a) \(5\sqrt 2 = \sqrt {25} \times \sqrt 2\) \(= \sqrt {50} \)
\(\frac{{\sqrt 3 \times \sqrt 6 }}{3}\) \(= \frac{{\sqrt 3 \times \sqrt 3 \times \sqrt 2 }}{3}\) \(= \frac{{3\sqrt 2 }}{3} = \sqrt 2 \)
b) Décomposons 720 en un produit de facteurs premiers. 720 est divisible par 2. On obtient 360. Encore divisible par 2. Soit 180. Et encore : on obtient 90. Et encore : on obtient 45. Nombre impair ! Donc \(720 = {2^4} \times 45.\) Divisons 45 par 3 : soit 15. Encore par 3 : donc 5. C’est un nombre premier. Ainsi \(720 = {2^4} \times {3^2} \times 5.\)
Pour réécrire \(\sqrt {720}, \) il faut le décomposer en carrés si c'est possible. Si des carrés apparaissent, on les sort du radical. Les facteurs qui ne sont pas des carrés parfaits restent sous le radical. Ici, nous avons vu que \(720 = {2^4} \times 45.\) On peut réécrire \({2^4}\) sous la forme \({4^2}\) (on peut aussi écrire 16 mais cela ne nous avance pas).
Donc \(\sqrt {720} = \sqrt {{4^2} \times {3^2} \times 5} ,\) soit \(4 \times 3 \times \sqrt 5 = 12\sqrt 5 .\)
De même \(\frac{{\sqrt {56} }}{{\sqrt {224} }}\) \(= \frac{{\sqrt {{2^2} \times 2 \times 7} }}{{\sqrt {{4^2} \times 2 \times 7} }}\) \(= \frac{{2\sqrt {14} }}{{4\sqrt {14} }}\) \(= \frac{1}{2}\)
Corrigé 2
\(A = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\) \(= \frac{{3 \times \sqrt 5 }}{{\sqrt 5 \times \sqrt 5 }}\) \(= \frac{{3\sqrt 5 }}{5}\)
\(B = \frac{6}{{\sqrt {12} }}\) \(= \frac{{6 \times \sqrt {12} }}{{\sqrt {12} \times \sqrt {12} }}\) \(= \frac{{6\sqrt {12} }}{{12}}\) \(= \frac{{\sqrt {12} }}{2}\) \(= \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \)
Corrigé 3
On utilise l’identité remarquable \((a + b)(a - b)\) \(= {a^2} - {b^2}\)
\(A = {3^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2}\) \(= 9 - 3 = 6\)
Ce résultat nous permet d’amener l’exercice suivant sur les quantités conjuguées.
Corrigé 4
a) \(\frac{{5\sqrt 2 }}{{5 - \sqrt 2 }}\) \(= \frac{{5\sqrt 2 \times \left( {5 + \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {5 - \sqrt 2 } \right)\left( {5 + \sqrt 2 } \right)}}\) \(= \frac{{25\sqrt 2 + 5\sqrt 2 \times \sqrt 2 }}{{{5^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}}\) \(= \frac{{25\sqrt 2 + 5 \times 2}}{{25 - 2}}\) \(= \frac{{10 + 25\sqrt 2 }}{{23}}\)
b) \(\frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }}\) \(= \frac{{{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)}}\) \(= \frac{{2 + 2\sqrt {2 \times 3} + 3}}{{3 - 2}}\) \(= 5 + 2\sqrt 6 \)
c) \(\frac{{\sqrt 5 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 2 }}\) \(= \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}}{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}}\) \(= \frac{{5 - \sqrt {10} }}{{5 - 2}}\) \(= \frac{{5 - \sqrt {10} }}{3}\)
d) \(\frac{{\sqrt 2 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }}\) \(= \frac{{\left( {\sqrt 2 - \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 3 - \sqrt 5 } \right)}}\) \(= \frac{{\sqrt 6 - \sqrt {10} - \sqrt {15} + 5}}{{3 - 5}}\) \(= - \frac{{\sqrt 6 - \sqrt {10} - \sqrt {15} + 5}}{2}\)
Corrigé 5
\({\left( {\sqrt {ab} } \right)^2} = ab\) et \({\left( {\sqrt a \times \sqrt b } \right)^2}\) \(= {\left( {\sqrt a } \right)^2} \times {\left( {\sqrt b } \right)^2} = ab\). Comme \(\sqrt{ab}\) et \(\sqrt{a} \times \sqrt{b}\) sont deux nombres positifs ayant le même carré, ils sont égaux. Cette démonstration fait partie du programme de seconde. Une autre démonstration sur les racines carrées se trouve en page d'identités remarquables.
