Irrationnels algébriques et transcendants
Il existe plusieurs catégories de nombres ou, pour s’exprimer de façon plus mathématique, plusieurs ensembles numériques. Ci-dessous nous présenterons les irrationnels, qui appartiennent à l’ensemble des réels. En mathématiques, l’irrationnel n’est pas celui du langage courant. Rien d’ésotérique ou d’illogique là-dedans. C’est juste que l’on ne peut pas les représenter sous forme de ratio (de fraction).
Une histoire mouvementée
Il y a environ 2 500 ans de cela, les nombres irrationnels provoquèrent la première grande remise en question des mathématiques (la seconde eu lieu à la fin du dix-neuvième siècle ; ceci pour rappeler que les crises mathématiques sont beaucoup moins fréquentes que les crises économiques).
Remontons à l’époque de Pythagore.
Dans la Grèce antique, les mathématiques étaient censées expliquer l’harmonie du monde. Les nombres se devaient donc d’être harmonieux, c’est-à-dire entiers, certains étant plus beaux que d’autres et porteurs d'une symbolique. Les fractions étaient certes connues depuis les Mésopotamiens mais elles n’avaient pas la faveur des pythagoriciens qui les jugeaient peu intéressantes.
Le comble de l’effroi s’abattit sur la Grèce lorsqu’on découvrit des nombres qui n’étaient même pas représentables par des fractions. Et pourtant ceux-ci ne se cachent pas. Il suffit d’imaginer un carré de côté 1 puis de calculer sa diagonale à l’aide du théorème de Pythagore pour découvrir un drôle d’olibrius, la racine carrée de 2. Il existe plusieurs légendes plus ou moins funestes autour de cette découverte. Voir à cet égard la spirale de Théodore.
Nous démontrerons un peu plus loin pourquoi \(\sqrt{2}\) n’est pas rationnel.
Présentation
Rappel : un rationnel est obtenu en divisant un entier relatif par un entier non nul.
L’ensemble des réels est composé de l’ensemble des rationnels mais aussi de nombres irrationnels, qu’il est impossible de présenter sous forme fractionnaire. Ils ne peuvent d’ailleurs pas être écrits sous une forme décimale puisqu’ils comportent une infinité de chiffres après la virgule sans aucune périodicité.
Les irrationnels sont eux-mêmes subdivisés en deux catégories.
Les nombres algébriques (rationnels ou irrationnels) sont solutions d’équations polynomiales à coefficients entiers. Les nombres transcendants ne le sont pas.
Une racine carrée ou énième (\(n\) étant un entier) est solution d’une équation polynomiale. Il en est de même du nombre d’or \(\varphi. \)
En revanche, des nombres aussi indispensables que \(e\) (base des logarithmes népériens) et \(\pi\) sont transcendants. La première démonstration qu’un nombre est transcendant (\(e,\) en l’occurrence) est due au Français Charles Hermitte (1873).
Soit par exemple un cercle. Si l’on divise son diamètre par son rayon (ou inversement), on obtient un nombre transcendant (respectivement \(2\pi\) ou l’inverse de ce nombre).
Un nombre algébrique élevé à une puissance irrationnelle est lui aussi transcendant (selon le théorème de Gelfond-Schneider), ainsi que les logarithmes de réels algébriques (autre que le logarithme de 1) et les sinus et cosinus de réels algébriques non nuls.
La distinction entre nombres algébriques et transcendants prouve l’impossibilité de réaliser la quadrature du cercle, c’est-à-dire de tracer à la règle et au compas un carré et un disque ayant la même aire. En effet, seuls les nombres constructibles (soit une partie des nombres algébriques) permettent de tracer un carré tandis que l’aire d’un cercle fait intervenir \(π,\) c’est-à-dire un nombre transcendant.
C’est le mathématicien français Joseph Liouville qui démontra l'existence des transcendants, ainsi que la possibilité de leur construction. Il trouva le premier en 1844, puis en découvrit plusieurs autres.
Le plus facile à construire est certainement 0,1234567891011121314… (les décimales étant la suite infinie des nombres entiers).
Les nombres transcendants sont les seuls à être indénombrables. Tout segment de la droite numérique en contient une infinité.
Ainsi, l’infinité des nombres réels n’est pas le même infini que celui des entiers naturels ou des rationnels, comme l’a démontré de façon astucieuse Georg Cantor (cette découverte n’étant pas étrangère à la seconde crise des mathématiques évoquée en introduction).
Propriétés
La somme et le produit d’un irrationnel et d’un rationnel sont aussi des irrationnels.
En revanche, la somme de deux irrationnels n’est pas toujours irrationnelle. L’exemple le plus simple est celui de l’addition d’un irrationnel et de son opposé. Le résultat est, évidemment, zéro.
Éventuellement, voir la page d'exercices sur ensembles numériques (niveau seconde).
Une démonstration
Démontrons que \(\sqrt{2}\) n’est pas un nombre rationnel (\(\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}\)).
Il existe plusieurs façons de le démontrer. Nous avons sélectionné celle-ci…
Raisonnons par l’absurde.
S’il s’agit d’un nombre rationnel, alors il peut être exprimé sous la forme d’une fraction de deux entiers premiers entre eux (\(p\) entier relatif, \(q\) entier naturel non nul).
\(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\)
Si l’on élève cette égalité au carré, on obtient : \(2q^2 = p^2.\)
Le double d’un carré parfait peut-il être égal à un autre carré parfait ?
Il ne vous aura pas échappé que si \(2q^2 = p^2,\) alors \(p^2\) est pair. Donc 2 divise \(p^2.\)
Or il se trouve que le carré d’un nombre pair est pair et le carré d’un nombre impair est impair (ce dernier cas étant démontré en page d'exercices sur les nombres, niveau seconde)..
Donc \(p\) est un multiple de 2. Soit \(p = 2r.\)
Il s’ensuit que \(2q^2 = 4r^2\) et donc \(q^2 = 2r^2.\)
Cette fois, on remarque que c’est \(q\) qui est pair.
Mais si \(p\) et \(q\) sont pairs tous les deux, ils ne sont pas premiers entre eux. Contradiction !
Donc \(\sqrt{2}\) n’est pas un nombre rationnel.
