Les suites bornées

Suites majorées, minorées et bornées

Alors que certaines suites, libres comme l’air, vont batifoler dans les territoires infinis, d’autres se restreignent à un cadre rigide. Elles sont bornées. Intéressons-nous à elles, ça les consolera.

 

Définitions

Soit deux réels \(m\) et \(M\) tels que \(M \geqslant m.\) Soit \(n\) un entier naturel, éventuellement infini.

Une suite \((u_n)\) est majorée par \(M\) si, pour tout \(n,\) \(u_n \leqslantM.\)

Si par exemple 2 est la plus grande valeur prise par une suite, 2 est un majorant. Mais 3 aussi en est un. Toute suite majorée admet une infinité de majorants.

\((u_n)\) est minorée par \(m\) si, pour tout \(n,\) \(u_n \geqslant m.\) Toute suite minorée admet une infinité de minorants.

\((u_n)\) est bornée si pour tout \(n,\) \(m \leqslantu_n \leqslantM.\)

Une suite bornée est donc minorée et majorée.

 

Démonstration

On démontre qu’une suite est bornée grâce à la récurrence, aux opérations sur les limites, ou tout simplement en utilisant ses connaissances des fonctions usuelles.

Par exemple, considérons la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \sin(n).\) On sait qu’un sinus est compris entre -1 et 1. Nous en déduisons que \(u_n\) est borné par -1 et 1.

 

Limites

Une suite peut avoir ou non une limite. Si celle-ci existe, elle est soit finie soit infinie.

Lorsqu'en terminale S on en découvre les définitions, elles peuvent sembler un peu bizarres. Pourtant, elles doivent paraître naturelles pour qui se destine à approfondir certaines branches des maths dans le supérieur.

La suite \((u_n)\) admet pour limite le réel \(m\) si, à partir d'un certain rang, toutes les valeurs \(u_n\) appartiennent à un intervalle ouvert contenant \(m.\)

Elle admet pour limite \(+ \infty\) si tout intervalle \(]m\,; +\infty[\) contient toutes les valeurs \(u_n\) à partir d'un certain rang.

 

Exercice 1

Soit la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 0,5u_n - 1.\) Montrer qu’elle est minorée par -2 et majorée par 1.

 

Exercice 2

Démontrer que la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}^*\) par \(v_n = \sqrt{n^2 - 1} - n\) est bornée.

 

Corrigé 1

Comme nous sommes en présence d’une suite de type \(u_{n+1} = f(u_n),\) la démonstration par récurrence s’impose.

Proposition. \(P(n) : -2 \leqslantu_n \leqslant1.\)

Initialisation. \(u_0 = 1,\) donc \(-2 \leqslantu_0 \leqslant1.\) \(P(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons que l'encadrement de \(P(n)\) est vrai pour un entier \(n.\)

Alors, \(-2 \leqslantu_n \leqslant1\)

Donc, \(-1 \leqslant0,5u_n \leqslant0,5.\)

Il s’ensuit que \(-2 \leqslant0,5u_n - 1 \leqslant-0,5.\)

Selon l’énoncé, \(0,5u_n - 1\) n’est autre que \(u_{n+1},\) donc \(-2 \leqslantu_{n+1} \leqslant-0,5.\)

Donc \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n.\)

Une rapide vérification sur Excel permet de confirmer qu’à partir de \(u_1,\) -0,5 est un majorant :

suite bornée

 

Corrigé 2

Nous devons cette fois-ci étudier une suite de type \(v_n = f(n).\) Il faut transformer son expression car en l’état, il n’est pas possible de borner \((v_n).\)

L’idée est de multiplier l’expression par sa quantité conjuguée, ce qui aura pour double effet d’introduire un dénominateur et de supprimer toute variable au numérateur.

\[v_n = \frac{(\sqrt{n^2 - 1} - n)(\sqrt{n^2 - 1} + n)}{\sqrt{n^2 - 1} + n}\]

\[v_n = \frac{n^2 - 1 - n^2}{\sqrt{n^2 - 1} + n} = \frac{-1}{\sqrt{n^2 - 1} + n}\]

On constate aisément que \(-1 \leqslantv_n < 0.\)

valeurs

 

suite bornée