Suites arithmétiques d'ordre 1
Ô vieillesse ennemie ! À chaque anniversaire, nous prenons un an de plus ! Pauvres victimes d’une suite arithmétique que nous sommes !
Le principe
La suite arithmétique est la plus simple des suites définies. Elle décrit une situation où l’on ajoute (ou l’on ôte) la même valeur à chaque rang de la suite. Après un bref rappel théorique, cette page présente quelques exercices : une série assez simple, puis une autre un peu plus relevée mais toujours de niveau première générale (cette page complète d'ailleurs la page d'initiation aux suites). Si vous êtes en première technologique ou si cette page vous semble trop abstraite, voyez la page suites arithmétiques avec Excel.
Une suite arithmétique peut se présenter de deux façons. La première est une formule de récurrence : pour tout entier naturel \(n,\) \(u_{n+1} = u_n + r.\) Le réel \(r\) est la raison. C’est cette présentation que l'on peut employer judicieusement avec un tableur, outil idéal pour connaître tous les premiers termes d’une suite par simple cliquer-glisser (voir corrigé de l’exercice 1.1 ci-dessous). On peut aussi entrer une formule de récurrence sur une calculatrice (Cf. calculatrices et suites arithmétiques).
L’autre présentation est le terme général, plus pratique pour connaître directement un énième terme. En général : \(u_n = u_0 + nr\) (pas au programme de première technologique mais de terminale). La démonstration se trouve en page de démonstrations sur les suites.
Pour montrer qu’une suite est arithmétique, on calcule la différence \(u_{n+1} - u_n\) quel que soit \(n.\) Si le résultat est un nombre, c’est OK (exercice 1.6). Mais s’il dépend de \(n,\) c’est raté.
Lorsque la raison est positive, la suite est croissante et divergente. Sa limite à l’infini est plus l’infini (la notion de limite n'est vue qu'en terminale mais en première, on peut avoir l'intuition des valeurs que prend la suite lorsque \(n\) devient très grand). Évidemment, si la raison est négative, la suite est décroissante et sa limite est moins l’infini.
Sommes de termes
Tout terme (sauf le premier et le dernier) est la moyenne entre son précédent et son suivant. La somme des \(n + 1\) premiers termes de la suite est aussi une simple moyenne entre le premier et le dernier multiplié par le nombre de termes :
\[S_n = (n + 1)\frac{u_0 + u_n}{2}\]
Bien sûr, si le premier terme est \(u_1\) et non \(u_0,\) il faut modifier la formule en conséquence (voir exercice 2.1 et page de somme des premiers entiers). Formule qui s’adapte d'ailleurs quels que soient les rangs \(q\) et \(p\) avec \(p < q.\)
\[S = (q - p +1)\frac{u_p + u_q}{2}\]
On peut déterminer graphiquement le terme initial et la raison d’une suite arithmétique, la représentation graphique étant une simple droite.
Première série d’exercices
1.1- Soit la suite arithmétique \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) de premier terme \(u_0 = 2\) et de raison \(r = 6.\) Calculer \(u_{10}.\)
1.2- Calculer la raison \(r\) de la suite arithmétique définie sur \(\mathbb{N}\) dont on connaît \(u_9 = 22\) et \(u_1 = 2.\)
1.3- Machin place 100 € à intérêts simples de \(2\%.\) Ensuite, il n’apporte plus aucun capital. De combien dispose-t-il \(n\) années plus tard ?
1.4- En 2010, le village A s’enorgueillit de 200 habitants et à partir de cette date de 15 habitants supplémentaires chaque année. Le village B possède 420 habitants en 2010 mais en perd 10 par an. À partir de quelle année A sera-t-il toujours plus peuplé que B ?
1.5- Soit une suite arithmétique définie sur \(\mathbb{N}\) dont on connaît \(u_8 = 5\) et \(u_{20} = 250.\) Trouver \(u_0\) et la raison \(r.\)
1.6- La suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n = 3n + 2\) est-elle arithmétique ?
Corrigés
1.1- \(u_{10} = u_0 + nr = 2 + (10 \times 6) = 62.\) Dans la feuille de calcul, on entre 2 et, dans la cellule située au-dessous, la référence de la cellule du dessus + 6 (un 8 s'affiche). C’est cette seconde cellule qu'il faut faire glisser vers le bas (le tableur recopie alors la formule jusqu'à ce que l'on lâche le bouton de la souris) pour que les termes de la suite se présentent les uns sous les autres.
1.2- \(u_9 - u_1 = 8r.\) Donc \(22 - 2 = 8r\) et \(r = 2,5.\)
1.3- Les intérêts s’élèvent à 2 €. Comme ils sont simples, seuls les 100 € produisent chaque année 2 € d’intérêts. Au terme de \(n\) années, le capital s’élèvera à \(100 + 2n.\)
1.4- On peut traduire ce problème simple en langage de suites. Pour quel rang \(n\) la valeur de la suite \((a_n)\) définie par \(a_n = 200 + 15n\) sera-t-elle supérieure à la suite \((b_n)\) définie par \(b_n = 420 - 10n\) ?
Posons \(200 + 15n > 420 - 10n.\) Ceci se simplifie en \(25n > 220\) donc \(n > 8,8\) (soit fin 2018). Selon l’énoncé, il faut que A soit plus peuplé sur l’année entière, qui est donc 2019.
1.5-
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_0} + 8r = 5}\\ {{u_0} + 20r = 250} \end{array}} \right.\)
Résolvons ce système d’équations par substitution. \((5 - 8r) + 20r = 250,\) d’où \(r = \frac{245}{12}.\) En remplaçant, on trouve \(u_0 = \frac{-475}{3}\).
1.6- \(u_{n+1} = 3(n + 1) + 2.\) Donc \(u_{n + 1} - u_n\) \(= 3n + 3 + 2 - 3n - 2 = 3.\) La suite est arithmétique et sa raison est 3.
Attention : il ne faut pas confondre cette expression avec \(u_{n + 1} = au_n + b\) qui est celle d’une suite arithmético-géométrique.
Seconde série d’exercices
2.1- Le dixième terme d’une suite arithmétique \((u_n)\) de raison \(r = 5\) est égal à 40. Calculer la somme des 20 premiers termes de cette suite.
2.2- Trouver trois nombres pairs « consécutifs » dont la somme est égale à 342.
Corrigés
2.1- Si \(u_{10} = 40,\) \(u_1 = 40 - (9 \times 5) = -5\) (il est inutile de remonter jusqu’à \(u_0\). Quant à \(u_{20},\) il est égal à \(40 + (10 \times 5) = 90.\)
Donc la somme des vingt premiers termes est \(S_0 = \frac{-5 + 90}{2} \times 20\) \(= 850\)
2.2- La procédure consiste d’abord à donner une expression explicite de cette suite évidemment arithmétique de raison 2 puis à définir notre inconnue.
La suite des nombres pairs s’écrit \(u_n = 2n.\) On cherche le premier rang \(p\) des trois termes à découvrir.
Donc, \(u_p = 2p,\) \(u_{p + 1} = 2p + 2\) et \(u_{p + 2} = 2p + 4.\)
La suite des trois nombres pairs peut s’écrire en fonction de \(p.\)
\(2p + 2p + 2 + 2p + 4 = 342,\) donc \(6p = 336\) et \(p = 56.\) Donc \(u_p = 2 \times 56 = 112.\)
Les trois nombres pairs consécutifs dont la somme vaut 342 sont 112, 114 et 116.
