Les sommes de premiers entiers

Exercices avec sommations et suites arithmétiques

Les démonstrations ne sont pas l’objet du site sur lequel vous avez le plaisir de vous trouver. Il est toutefois possible d’en rencontrer quelques unes au détour d’un exercice illustrant une technique… Justement, voici quelques exercices d’entraînement à la manipulation des suites et séries dont le niveau de difficulté est celui des classes de première générale et de terminale S.

 

Préambule

Soit \(n \in \mathbb{N}.\) Rappel de la somme des \(n\) premiers termes d’une suite arithmétique :

\[S_n = (n + 1)\frac{u_0 + u_n}{2}\]

Il s’ensuit que la somme des \(n\) premiers entiers naturels est \(S_n = \frac{n(n + 1)}{2}.\)

Cette formule est démontrée en page de démonstrations sur les suites.

Note : si vous souhaitez programmer la somme des \(n\) premiers entiers sur une calculatrice TI-83, allez en page boucles (niveau seconde) et si vous souhaitez davantage de détails sur cette somme, visitez la page sur les nombres triangulaires.

 

Premiers entiers impairs

À quoi est égal la somme \(1 + 3 + 5 + … + (2n - 1)\) ?

Le dernier rang (\(2n - 1\)) indique que l’on étudie les \(n\) premiers termes d’une suite arithmétique de raison 2. Le premier est \(u_1\) et non \(u_0.\) Donc, la moyenne entre le premier et le dernier terme n’est pas multipliée par \(n + 1\) comme dans la formule mais par \(n.\)

\(S_n\) \(= n \frac{1 + (2n - 1)}{2}\) \(= n \times \frac{2n}{2}\) \(= n^2\)

Vérifions cette belle trouvaille sur les cinq premiers nombres impairs (1, 3, 5, 7 et 9). Leur somme est bien égale à 25 (soit \(5^2\)).

 

Premiers carrés

Les résultats des séries des \(n\) premiers entiers élevés à une puissance s’établissent soit par un raisonnement par récurrence (mais qui est plutôt la démonstration d'arriver au résultat, déjà donné), soit par une sommation membre à membre.

Cette seconde technique nécessite le développement de \((n + 1)^{n+1}.\) Grâce au principe du binôme de Newton, la tâche n’est pas trop fastidieuse tant que l’on reste dans le cadre de « petites » puissances. Le développement d’un cube est un exemple du binôme. Ici : \((n + 1)^3\) \(= n^3 + 3n^2 + 3n + 1.\)

L’astuce consiste à sommer les formes développées de 1 jusqu’à \(n.\)

\((1 + 1)^3\) \(= 2^3\) \(=1^3 + (3 \times 1^2) + (3 \times 1) + 1\)
\((2 + 1)^3\) \(= 3^3\) \(=2^3 + (3 \times 2^2) + (3 \times 2) + 1\)
(…)
\((n - 1 + 1)^3\) \(= n^3\) \(=(n - 1)^3 + 3(n - 1)^2 + 3 (n - 1) + 1\)
\((n + 1)^3\) \(=n^3 + 3n^2 + 3n + 1\)

La somme des termes de gauche nous donne \(2^3 + 3^3 + … + (n + 1)^3.\)

La somme des expressions de droite est plus longue : il faut additionner tous les premiers termes, puis tous les deuxièmes, tous les troisièmes et enfin tous les 1 :

\(1^3\) \(+ 2^3\) \(+ ...\) \(+ 3(1^2 + 2^2 + ... + n^2)\) \(+ 3(1 + 2 + ... + n)\) \(+ n.\)

Comme nous avons de chaque côté \(2^3 + … + n^3,\) il ne demeure que l’égalité \((n + 1)^3\) \(= 1 + 3(1^2 + 2^2 + … + n^2)\) \(+ 3(1 + 2 + … + n) + n.\)

Nommons \(S_n\) la somme des carrés dont nous cherchons une expression synthétique et remplaçons la somme des \(n\) premiers entiers par la formule indiquée en préambule.

\((n + 1)^3\) \(= 1 + 3S_n + 3 \frac{n(n + 1)}{2} + n\)

En factorisant par \((n + 1),\) il s’ensuit…

\(-3S_n\) \(=(n + 1)\left[-(n + 1)^2 + 1 + \frac{3n}{2}\right]\)

Après développement de l’identité remarquable et annulation de -1 + 1, il subsiste…

\(3S_n\) \(= (n + 1)\left(n^2 + 2n - \frac{3n}{2} \right)\) \(=(n + 1) \left(n^2 + \frac{n}{2}\right)\)

Factorisons le dernier terme par \(\frac{n}{2}.\)

\(3S_n\) \(= \frac{n}{2}(n + 1) (2n + 1)\)

Finalement, \(1^2 + 2^2 + ... + n^2\) \(= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)

Vérifions-le avec un raisonnement par récurrence.

Initialisation : appliquons d'abord la formule à \(u_1.\)

\(1^2 = \frac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1.\)

OK, ça fonctionne. Pour vérifier l'hérédité, il faudra obtenir l’expression suivante :

\(S_{n+1}\) \(= \frac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6}\)

Hérédité : supposons que pour un entier \(n\) la proposition suivante est vraie.

\(1^2 + 2^2 + ... (n + 1)^2\) \(= \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + (n + 1)^2\)

Transformons le second terme pour obtenir un unique dénominateur (6) puis factorisons par \((n + 1).\)

\[S_{n+1} = \frac{(n + 1)\left[n(2n + 1) + 6(n + 1)\right]}{6}\]

Une partie de cette expression est trop compliquée. Simplifions-la en la développant le contenu des crochets pour obtenir \(2n^2 + 7n + 6\) puis en la factorisant grâce au discriminant. Le résultat ne se fait pas attendre : nous obtenons ce que nous cherchions. La propriété est bien vérifiée pour \(n + 1.\)

 

Encore plus fort

Libre à vous de vous entraîner pour retrouver la somme des premiers cubes :

\(1^3 + 2^3 + ... + n^3\) \(= \frac{n^2(n + 1)^2}{4}\)

Et attention mesdames et messieurs, le clou du spectacle ! La somme des premiers entiers à la puissance 4 :

somme des puissances 4

 

premières siestes