Voici une utilisation célèbre du triangle de Pascal, table des combinaisons, proposée par le génie Isaac Newton lui-même. Le but du jeu est de développer l’identité remarquable (a + b)ⁿ.

Par commodité, rappelons ici un extrait de ce fameux triangle.

Et maintenant, la formule du binôme :

Euh… concrètement ? Développons (a – b)⁵, à titre d’exemple.

Que remarque-t-on ?

D’abord, et on le voit bien sur la formule générale, chaque membre de l’addition se situe à un degré  de puissance 5. Le premier montre le a à pleine puissance tandis que b est absent, le deuxième ne multiplie a que 4 fois par lui-même alors que b fait son apparition et ainsi de suite jusqu’à élever b à la puissance 5.

On remarque ensuite et surtout que les coefficients multiplicateurs sont les nombres relevés sur la ligne n = 5 du triangle de Pascal, c’est-à-dire 1-5-10-10-5-1.

Enfin, on remarque que b est négatif. On retrouve donc le signe « moins » sur les puissances impaires de b.

Les puissances de 2

Intéressons-nous à présent à un cas particulier de a et de b.

Si a = b = 1, la formule du binôme devient tout simplement… l’expression des puissances de 2 (puisque les coefficients ne multiplient que des 1). On le vérifie également sur ce triangle décidément magique. Prenez par exemple n = 6 et additionnez les valeurs de la ligne : 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2⁶.

La loi binomiale

Avec un nom pareil, on se doute bien qu’il y a un petit air de famille… Voici un autre cas particulier des paramètres a et b. Il s’agit cette fois-ci de deux probabilités complémentaires (leur somme est égale à 1). La formule est évidemment celle du binôme mais généralement on ne retient pas toutes les possibilités de 0 à n et, du coup, on ne développe pas (a + b)ⁿ. Par exemple, si l’on ne recense que les possibilités d’obtenir 3 succès sur 10 tirages et que la probabilité de succès est égale à 0,4, la formule n’est pas une somme puisque k est forcément égal à 3 et le résultat ne sera qu’un « extrait » de la forme développée plus haut, soit 120 × (0,4)³ × (0,6)⁷.

Suites

Dans la mesure où le triangle de Pascal se construit par récurrence, le binôme ne peut être totalement insensible aux joies des suites…

Notamment, on démontre grâce à lui que la fameuse suite u_n = (1 + 1 / n)ⁿ ayant e pour limite  est croissante (voir par exemple « Mathématiques pour l’économie » (Naïla Hayek, Jean-Pierre Leca), Dunod 2007 p 75).

Exercice

Linéariser cos⁴ x.

Pour faire disparaître les puissances d’une expression trigonométrique, il faut utiliser les nombres complexes et plus précisément leur forme polaire. Selon une formule d’Euler…

Si l’on met (½)⁴ en facteur, il nous reste à développer l’expression à la puissance 4 en utilisant la formule du binôme de Newton.

Certes, la ligne est un peu longue. Mais maintenant que le binôme nous a montré ses bienfaits, nous pouvons réduire un peu l’expression…

Notamment, si l’on applique une règle algébrique très basique des exponentielles (et des puissances en général), on remarque que (e^ix)²(e^-ix)² peut s’écrire e^2ix × e^-2ix, soit e⁰, soit 1.

Par ailleurs, factorisons 4 dans les deuxième et quatrième termes. On obtient :

Il faut enjoliver cette espèce de magma inesthétique qui est multiplié par 4. On voit qu’on peut factoriser ceci par e^ixe^-ix c’est-à-dire, ici encore, par 1.

On y va décidément pas à pas. Regroupons les puissances 4.

Appliquons à nouveau la formule d’Euler. Nous avons (e^2ix + e^-2ix) qui est égal à 2 cos 2x et (e^4ix + e^-4ix) qui est égal à 2 cos 4x. En simplifiant par 2, nous arrivons au bout de nos peines :