Voici une utilisation célèbre du triangle de Pascal, table des combinaisons, proposée par le génie Isaac Newton lui-même. Le but du jeu est de développer l’identité remarquable (a + b)ⁿ.

Par commodité, rappelons ici un extrait de ce fameux triangle.

Et maintenant, la formule du binôme :

Euh… concrètement ? Développons (a – b)⁵, à titre d’exemple.

Que remarque-t-on ?

D’abord, et on le voit bien sur la formule générale, chaque membre de l’addition se situe à un degré  de puissance 5. Le premier montre le a à pleine puissance tandis que b est absent, le deuxième ne multiplie a que 4 fois par lui-même alors que b fait son apparition et ainsi de suite jusqu’à élever b à la puissance 5.

On remarque ensuite et surtout que les coefficients multiplicateurs sont les nombres relevés sur la ligne n = 5 du triangle de Pascal, c’est-à-dire 1-5-10-10-5-1.

Enfin, on remarque que b est négatif. On retrouve donc le signe « moins » sur les puissances impaires de b.

Les puissances de 2

Intéressons-nous à présent à un cas particulier de a et de b.

Si a = b = 1, la formule du binôme devient tout simplement… l’expression des puissances de 2 (puisque les coefficients ne multiplient que des 1). On le vérifie également sur ce triangle décidément magique. Prenez par exemple n = 6 et additionnez les valeurs de la ligne : 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 2⁶.

La loi binomiale

Avec un nom pareil, on se doute bien qu’il y a un petit air de famille… Voici un autre cas particulier des paramètres a et b. Il s’agit cette fois-ci de deux probabilités complémentaires (leur somme est égale à 1). La formule est évidemment celle du binôme mais généralement on ne retient pas toutes les possibilités de 0 à n et, du coup, on ne développe pas (a + b)ⁿ. Par exemple, si l’on ne recense que les possibilités d’obtenir 3 succès sur 10 tirages et que la probabilité de succès est égale à 0,4, la formule n’est pas une somme puisque k est forcément égal à 3 et le résultat ne sera qu’un « extrait » de la forme développée plus haut, soit 120 × (0,4)³ × (0,6)⁷.

Voir aussi la démonstration de la page additivité de la loi de Poisson.

Suites

Dans la mesure où le triangle de Pascal se construit par récurrence, le binôme ne peut être totalement insensible aux joies des suites…

Notamment, on démontre grâce à lui que la fameuse suite u_n = (1 + 1 / n)ⁿ ayant e pour limite  est croissante (voir par exemple « Mathématiques pour l’économie » (Naïla Hayek, Jean-Pierre Leca), Dunod 2007 p 75).

Exercice

Linéariser cos⁴x.

Pour faire disparaître les puissances d’une expression trigonométrique, il faut utiliser les nombres complexes et plus précisément leur forme polaire. Selon une formule d’Euler…

Si l’on met (½)⁴ en facteur, il nous reste à développer l’expression à la puissance 4 en utilisant la formule du binôme de Newton.

Certes, la ligne est un peu longue. Mais maintenant que le binôme nous a montré ses bienfaits, nous pouvons réduire un peu l’expression…

Notamment, si l’on applique une règle algébrique très basique des exponentielles (et des puissances en général), on remarque que (e^ix)²(e^-ix)² peut s’écrire e^2ix × e^-2ix, soit e⁰, soit 1.

Par ailleurs, factorisons avec 4 dans les deuxième et quatrième termes. On obtient :

Il faut enjoliver cette espèce de magma inesthétique qui est multiplié par 4. On voit qu’on peut factoriser ceci par e^ixe^-ix c’est-à-dire, ici encore, par 1.

On y va décidément pas à pas. Regroupons les puissances 4.

Appliquons à nouveau la formule d’Euler. Nous avons (e^2ix + e^-2ix) qui est égal à 2 cos 2x et (e^4ix + e^-4ix) qui est égal à 2 cos 4x. En simplifiant par 2, nous arrivons au bout de nos peines :