Applications du binôme
Voici une utilisation célèbre du triangle de Pascal, table des combinaisons (ou coefficients binomiaux), proposée par le génie Isaac Newton lui-même. L'un des buts du jeu est de développer l’identité remarquable \((a + b)^n.\) Mais les applications sont inombrables (voir par exemple la page matrices et binôme).
Le triangle de Pascal
Par commodité, rappelons ici un extrait de ce fameux triangle.
Le binôme de Newton
Et maintenant, la formule du binôme :
\[{\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
n\\
k
\end{array}} \right)} {a^{n - k}}\,{b^k}\]
Euh… concrètement ? Développons \((a - b)^5,\) à titre d’exemple.
\((a - b)^5\) \(=\) \(a^5\) \(-\) \(5a^4b\) \(+\) \(10a^3b^2\) \(-\) \(10a^2b^3\) \(+\) \(5ab^4\) \(-\) \(b^5\)
Que remarquons-nous ?
D’abord, chaque membre de l’addition se situe à un degré de puissance 5. Le premier montre \(a\) à pleine puissance tandis que \(b\) est absent, le deuxième ne multiplie \(a\) que 4 fois par lui-même alors que \(b\) fait son apparition et ainsi de suite jusqu’à élever \(b\) à la puissance 5.
Nous constatons aussi que les coefficients multiplicateurs apparaissent sur la ligne \(n = 5\) du triangle de Pascal, c’est-à-dire 1-5-10-10-5-1.
Enfin, nous constatons que \(b\) est négatif. Nous trouvons donc le signe « moins » sur les puissances impaires de \(b.\)
Si vous êtes courageux, voyez la démonstration du binôme de Newton. Pour un rapide exercice avec nombres complexes, faire le 7 de la page sur les réécritures.
Les puissances de 2
Intéressons-nous à présent à un cas particulier de \(a\) et de \(b.\)
Si \(a = b = 1,\) la formule du binôme devient tout simplement… l’expression des puissances de 2 (puisque les coefficients ne multiplient que des 1). On le vérifie également sur ce triangle décidément magique. Prenez par exemple \(n = 6\) et additionnez les valeurs de la ligne : \(1\) \(+\) \(6\) \(+\) \(15\) \(+\) \(20\) \(+\) \(15\) \(+\) \(6\) \(+\) \(1\) \(=\) \(64\) \(= 2^6.\)
Probabilités
La loi binomiale : avec un nom pareil, on se doute bien qu’il y a un petit air de famille… Voici un autre cas particulier des paramètres \(a\) et \(b.\) Il s’agit cette fois-ci de deux probabilités complémentaires (leur somme est égale à 1). La formule est évidemment celle du binôme mais généralement on ne retient pas toutes les possibilités de 0 à \(n\) et, du coup, on ne développe pas \((a + b)^n.\) Par exemple, si l’on ne recense que les possibilités d’obtenir 3 succès sur 10 tirages et que la probabilité de succès est égale à 0,4, la formule n’est pas une somme puisque \(k\) est égal à 3 et le résultat ne sera qu’un « extrait » de la forme développée plus haut, soit \(120 × 0,4^3 × 0,6^7.\)
Voir aussi la démonstration de l'additivité de la loi de Poisson.
Suites
Dans la mesure où le triangle de Pascal se construit par récurrence, le binôme ne peut être totalement insensible aux joies des suites…
Notamment, on démontre grâce à lui que la fameuse suite définie par \(u_n = (1 + \frac{1}{n})^n\) ayant \(e\) pour limite est croissante (voir par exemple « Mathématiques pour l’économie » (Naïla Hayek, Jean-Pierre Leca), Dunod 2007 p 75).
Exercice
Linéariser \(\cos^4 x.\)
Corrigé
Pour faire disparaître les puissances d’une expression trigonométrique, il faut utiliser les nombres complexes et plus précisément leur forme polaire. Selon une formule d’Euler…
\[\cos^4 x = \left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \right)^4\]
Si l’on factorise par \((\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16},\) il nous reste à développer l’expression à la puissance 4 en utilisant la formule du binôme de Newton.
\(\cos^4 x\) \(=\) \(\frac{1}{16}[(e^{ix})^4\) \(+\) \(4(e^{ix})^3 e^{-ix}\) \(+\) \(6(e^{ix})^2 (e^{-ix})^2\) \(+\) \(4e^{ix} (e^{-ix})^3\) \(+\) \((e^{-ix})^4]\)
Certes, la ligne est un peu longue. Mais maintenant que le binôme nous a montré ses bienfaits, nous pouvons réduire un peu l’expression…
Notamment, si l’on applique une règle algébrique très basique des exponentielles (et des puissances en général), on remarque que \((e^{ix})^2 (e^{-ix})^2\) peut s’écrire \(e^{2ix} × e^{-2ix},\) soit \(e^0,\) soit 1.
Par ailleurs, factorisons par 4 dans les deuxième et quatrième termes. On obtient :
\(\cos^4 x\) \(=\) \(\frac{1}{16} [(e^{ix})^4\) \(+\) \(4[(e^{ix})^3 e^{-ix}\) \(+\) \(e^{ix}(e^{-ix})^3]\) \(+\) \(6\) \(+\) \((e^{-ix})^4]\)
Il faut enjoliver cette espèce de magma inesthétique qui est multiplié par 4. On voit que l’on peut factoriser ceci par \(e^{ix} e^{-ix}\) c’est-à-dire, ici encore, par 1.
\(\cos^4 x\) \(=\) \(\frac{1}{16}[(e^{ix})^4\) \(+\) \(4(e^{2ix} + e^{-2ix})\) \(+\) \(6\) \(+\) \(e^{-ix})^4]\)
On y va décidément pas à pas. Regroupons les puissances 4.
\(\cos^4 x\) \(=\) \(\frac{1}{16}[4(e^{2ix}\) \(+\) \(e^{-2ix})\) \(+\) \(6\) \(+\) \((e^{4ix} + e^{-4ix})]\)
Appliquons à nouveau la formule d’Euler. Nous avons \(e^{2ix} + e^{-2ix}\) qui est égal à \(2 \cos 2x\) et \(e^{4ix} + e^{-4ix}\) qui est égal à \(2 \cos 4x.\) En simplifiant par 2, nous arrivons au bout de nos peines :
\(\cos^4 x = \frac{1}{8}(4 \cos 2x + \cos 4x + 3)\)
