Droits d'auteur protégés

mèche perceuse

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Techniques de substitution et de combinaison linéaire

Les systèmes d'équations sont enseignés depuis le collège et jusqu’aux études supérieures. Pourquoi une telle durée ? D'une part il existe plusieurs techniques de résolution qui ne requièrent pas toutes le même niveau en mathématiques (mais toutes sont fondées sur les propriétés de la linéarité) et d'autre part les applications se précisent au fur et à mesure que le niveau d'étude s'élève. Cette page initiatique ne reprend que les techniques enseignées entre les classes de troisième et de première. N'importe quel système de deux équations doit pouvoir être maîtrisé par un élève de seconde.

La substitution

La substitution est idéale pour résoudre de petits systèmes dont une équation comporte une inconnue affectée d’un coefficient 1. On peut directement l'exprimer en fonction de l'autre (ou des autres) inconnue(s). C'est cette expression qui vient remplacer la première inconnue dans la ou les autres équations. Ci-dessous, on trouve immédiatement que x = 16 – 4y. On utilise alors cette égalité dans l'autre équation :

substitution

Cette dernière ne comporte dès lors qu’une seule inconnue. Résolution facile ! On a 42 – 11y = 9 et donc y = 3. Reste à remplacer y dans la première équation pour trouver x = 2. On aurait aussi pu commencer par l’expression de y dans la deuxième équation.

La combinaison linéaire

On multiplie une équation pour qu’un coefficient soit le même dans une autre équation. Reste à opérer une soustraction entre deux équations pour faire disparaître l’inconnue. Il revient au même de multiplier par le coefficient opposé puis d’ajouter les équations entre elles au lieu de les soustraire. Exemple :

exemple

Multiplions la première équation par 2 pour obtenir un système équivalent.

multiplication par 2

y est maintenant affectée du même coefficient dans les deux équations. Si l’on soustrait la seconde à la première, on obtient 4x = -8, donc x = -2. Remplaçons x par -2 dans l’une des deux équations de départ. On trouve facilement y = 4.

Ces deux méthodes peuvent être combinées entre elles. Voyons ceci sur un système de trois équations à trois inconnues.

Technique mixte (exemple)

système de 3 équations

Commençons par une substitution de y.

substitution

On obtient le système équivalent suivant :

réduit

Utilisons à présent la multiplication en faisant apparaître 8x dans la dernière équation.

8x

Soustrayons la troisième équation à la deuxième.

dernière étape

Par conséquent, z = 3. À partir de là, les événements se précipitent. On remplace z par 3 dans la deuxième équation pour détecter qui se cache derrière x. Il s’agit de 1. Puis on remplace x et z dans la première équation afin que y révèle sa véritable identité : 2.

Cas particuliers

Il peut n’exister aucune solution, notamment si le système comporte plus d’équations que d’inconnues, ou une infinité en cas de proportionnalité entre équations (si des équations sont redondantes, c’est comme s’il y avait plus d’inconnues que d’équations).

Exemple 1 :

système redondant

La seconde équation étant le double de la première, c’est comme s’il n’y en avait qu’une : infinité de solutions. Représentées dans le plan, elles vérifient la fonction affine d’équation y = -2x + 5. S'il avait eu une solution, elle aurait été illustrée par un point.

Exemple 2. Il est évident que le système suivant n’a pas de solution :

pas de solution

D’ailleurs, l’emploi de la technique de substitution nous amène à 4 = 5 tandis que les combinaisons linéaires nous conduisent à 0 = 9. Bref, de la pure fiction…

Au-delà de trois équations

La résolution de systèmes de trois équations à trois inconnues représente déjà un petit casse-tête avec ces deux techniques. Au-delà, il vaut mieux réserver son après-midi… En l’absence de calculatrice ou de logiciel, on utilise alors la rigueur du pivot de Gauss ou la méthode de Cramer.

Problèmes

On le voit, la résolution des systèmes ne pose aucune difficulté majeure d'autant qu'il est rapide de vérifier l’exactitude des solutions trouvées. Le principal souci des lycéens consiste surtout à transformer en système les données littérales d’un problème.

Exemple : un capital de 1 000 euros est à répartir entre deux sommes. Si l’on en place une à 5 % et une autre à 4 %, on obtient au bout d’un an le même résultat qu’en plaçant le tout à 4,6 %. Comment partager le capital ? Réponse :

système (finance)

La solution est une répartition 400 – 600.

Mais encore

D'autres petites difficultés peuvent survenir (nécessité d'un changement de variable(s), présence d'un paramètre...) et je vous invite en page exercices sur systèmes d'équations pour explorer ces subtilités.

Les problèmes formalisés par un système d'INÉQUATIONS se traduisent graphiquement par un régionnement du plan.

 

pas de résolution

haut de page