Les systèmes d'équations

Techniques de substitution et de combinaison

Les systèmes d'équations étaient enseignés depuis la classe de troisième jusqu’aux études supérieures (ils ont aujourd'hui disparu des programmes du collège). Pourquoi une telle durée ? D'une part il existe plusieurs techniques de résolution qui ne requièrent pas toutes le même niveau en mathématiques (mais toutes sont fondées sur les propriétés de la linéarité) et d'autre part les applications se précisent au fur et à mesure que le niveau d'étude s'élève. Cette page initiatique ne reprend que les deux techniques enseignées avant la classe de terminale. N'importe quel système de deux équations doit pouvoir être maîtrisé par un élève de seconde.

 

La substitution

La substitution est idéale pour résoudre des systèmes de deux équations dont l'une comporte une inconnue affectée d’un coefficient 1 ou -1. On peut directement l'exprimer en fonction de l'autre inconnue. C'est cette expression qui vient alors remplacer la première inconnue dans l'autre équation. Ci-dessous, on pose à partir de la première équation \(x = 14 - 4y.\) On utilise alors cette égalité dans la seconde :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 4y = 14}\\ {3x + y = 9} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 14 - 4y}\\ {3x + y = 9} \end{array}} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 14 - 4y}\\ {3(14 - 4y) + y = 9} \end{array}} \right.\)

Cette dernière ne comporte dès lors qu’une seule inconnue. Résolution facile !

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 14 - 4y}\\ {42 - 12y + y = 9} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 14 - 4y}\\ { - 11y = - 33} \end{array}} \right.\)

Donc \(y = 3.\) Reste à remplacer \(y\) par 3 dans la première équation pour trouver \(x = 2.\)

 

La combinaison linéaire

On multiplie une équation pour qu’un coefficient soit le même dans une autre équation. Reste à opérer une soustraction entre deux équations pour faire disparaître l’inconnue. Il revient au même de multiplier par le coefficient opposé puis d’ajouter les équations entre elles au lieu de les soustraire.

Exemple :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x + 2y = 2}\\ {2x + 4y = 12} \end{array}} \right.\)

Multiplions les deux membres de la première équation par 2 pour obtenir un système équivalent.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x + 4y = 4}\\ {2x + 4y = 12} \end{array}} \right.\)

\(y\) est maintenant affectée du même coefficient dans les deux équations. Si l’on soustrait membre à membre la seconde à la première, on obtient \(4x = -8,\) donc \(x = -2.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x + 4y = 4}\\ {6x - 2x + 4y - 4y = 4 - 12} \end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x + 4y = 4}\\ {4x = - 8} \end{array}} \right.\)

\() \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {6x + 4y = 4}\\ {x = - 2} \end{array}} \right.\)

Remplaçons \(x\) par -2 dans l’une des équations de départ. On trouve facilement \(y = 4.\)

Notez au passage que nous aurions pu commencer par simplifier la deuxième équation en divisant les deux membres par 2. Nous aurions obtenu \(x + 2y = 6.\)

Notre exemple était relativement simple puisqu'un coefficient était le multiple d'un autre (\(2y\) et \(4y\)). Mais il est fréquent de devoir multiplier les deux équations du système pour faire apparaître un coefficient unique.

 

Cas particuliers

Il peut n’exister aucune solution, notamment si le système comporte plus d’équations que d’inconnues, ou une infinité en cas de proportionnalité entre équations (si des équations sont redondantes, c’est comme s’il y avait plus d’inconnues que d’équations).

Exemple 1.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x + y = 5}\\ {4x + 2y = 10} \end{array}} \right.\)

La seconde équation est simplement la première dont les deux membres ont été multipliés par 2. Elle n'apporte aucune information supplémentaire. Donc il existe une infinité de solutions. Représentées dans le plan, elles vérifient la droite d’équation réduite \(y = -2x + 5.\) Si une seule solution avait existé, elle aurait été représentée par un point de coordonnées \((x\,;y),\) intersection des deux droites représentant les deux équations.

Exemple 2.

Il est évident que le système suivant n’a pas de solution dans \(\mathbb{R}\) :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + y = 4}\\
{x + y = 5}
\end{array}} \right.\)

D’ailleurs, l’emploi de la technique de substitution nous amène à \(4 = 5\) tandis que les combinaisons linéaires nous conduisent à \(0 = 9.\) Bref, de la pure fiction…

 

Au-delà de trois équations

La résolution de systèmes de trois équations à trois inconnues représente déjà un petit casse-tête avec ces deux techniques (voir la page d'exemples de systèmes). Au-delà, il vaut mieux réserver son après-midi… En l’absence de calculatrice ou de logiciel, on utilise alors la rigueur du pivot de Gauss ou la méthode de Cramer.

 

Problèmes

On le voit, la résolution des systèmes ne pose aucune difficulté majeure d'autant qu'il est rapide de vérifier l’exactitude des solutions trouvées. Le principal souci des lycéens consiste surtout à transformer en système les données littérales d’un problème. Voir les exemples de systèmes d'équations.

 

Mais encore

D'autres petites difficultés peuvent survenir (nécessité d'un changement de variable(s), présence d'un paramètre...) et vous êtes invité en page exercices sur systèmes d'équations pour explorer ces subtilités. Voir aussi la page représentation paramétrique de droite (avec exercice de niveau terminale S).

Les problèmes formalisés par un système d'inéquations se traduisent graphiquement par un régionnement du plan.

 

pas de résolution