Quelques exemples de systèmes d'équations

Compléments sur les systèmes d'équations

Les systèmes d’équations ou d’inéquations à plusieurs inconnues donnent lieu à diverses applications, notamment en gestion (prestations réciproques, choix de production…). Leur résolution ne pose aucune difficulté notable tant qu’ils restent dans la cadre très classique de la linéarité mais certains cas de figure peuvent, à l’occasion, comporter quelques subtilités. Cette page en présente un petit florilège à la faveur d’exercices dont le niveau est celui d’une classe de première.

Afin de ne pas alourdir les exemples, nous ne présenterons ici que des systèmes à deux inconnues.

 

Changements de variable

Un système non linéaire peut être facilement transformé pour peu qu’une inconnue apparaisse toujours sous une même forme. Dans celui qui se présente ci-dessous, il n’y a pas de « mélange » entre des \(x\) et des \(x^2.\) C’est pourquoi le changement de variable coule de source.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2x^2 - y^2 = 7}\\ {-x^2 + 3y^2 = -1} \end{array}} \right.\)

Remplaçons \(x^2\) par \(X\) et \(y^2\) par \(Y.\) Il n’est pas difficile de déterminer que \(X = 4\) et \(Y = 1\) puis de revenir à la variable de départ. Si l’on travaille sur l'ensemble des réels, les solutions sont \(x = 2\) ou \(x = -2\) tandis que \(y = 1\) ou \(y = -1.\)

Les périlleuses situations desquelles cette vieille ruse du changement de variable nous tire d’embarras sont infinies. Voyons un autre exemple…

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {- \frac{1}{x - 2} + \frac{2}{y + 4} + 1 = 0}\\ {\frac{4}{x - 2} - \frac{9}{y + 4} - 2 = 0} \end{array}} \right.\)

On pose \(X = \frac{1}{x - 2}\) et \(Y = \frac{1}{y + 4},\) ce qui se traduit par une configuration beaucoup plus sympathique :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {-X + 2Y = -1}\\ {4X - 9Y = 2} \end{array}} \right.\)

On trouve \(X = 5\) et \(Y = 2.\) Donc, \(\frac{1}{x - 2} = 5\) et \(\frac{1}{y + 4} = 2.\) Ainsi, \(x = \frac{11}{5}\) et \(y = - \frac{7}{2}.\)

YX

 

Paramètres

Lorsque le système abrite plus d’inconnues que d’équations, il n’existe pas de solutions uniques. Supposons qu’il n’y a qu’UNE inconnue en trop (pour ne pas vous ennuyer avec une usine à gaz). On exprime alors chaque solution en fonction de l’une d’entre elles.

Exemple. Résoudre en fonction du paramètre \(m\) :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + 2y + 3 = 0}\\ {3x + my - 2m + 3 = 0} \end{array}} \right.\)

Rappelons d’abord qu’un système…

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a_1 + b_1y + c_1 = 0}\\ {a_2 + b_2y + c_2 = 0} \end{array}} \right.\)

… n’admet de solution que si \(a_1b_2 – a_2b_1 \ne 0.\) C’est une simple conséquence de la colinéarité entre deux vecteurs telle qu’elle est enseignée en classe de seconde.

En l’occurrence, \(m - (2 × 3)\) doit être non nul, c’est-à-dire que \(m\) doit être différent de 6 pour que le système admette des solutions. On le vérifiera d’ailleurs ci-dessous…

Résolvons par substitution.

\(3(-2y - 3) + my - 2m + 3\) \(=\) \(0,\) d’où \(-6y + my\) \(=\) \(6 + 2m.\) Ainsi : \(y = \frac{2m + 6}{m - 6}.\)

Nous constatons à nouveau que \(m\) ne peut être égal à 6. Idem sur les valeurs possibles de \(x.\)Nous arrivons à \(x = \frac{-7m + 6}{m - 6}.\)

Une infinité de solutions se présentent mais l’une d’entre elles est particulièrement intéressante, en l’occurrence celle qui est indépendante du paramètre \(m.\) Pour la trouver, il faut réécrire la seconde équation ainsi : \(m(y - 2) = -3x - 3.\) Afin qu’elle soit vérifiée quel que soit la valeur de \(m,\) il faut que \(y – 2\) soit égal à zéro et \(-3x –3\) aussi. Logique, non ? Donc \(y = 2\) et \(x = -1.\) Cette équation décrit une infinité de fonctions affines qui passent toutes par le point de coordonnées \((-1\,; 2),\) c’est-à-dire une famille de droites.

Un système comportant davantage d’équations nécessite l’application du pivot de Gauss.

 

Formes factorisées

Supposons un système de deux produits nuls, soit \(ab = 0\) et \(cd = 0.\) Sa résolution exige celle de quatre systèmes… On voit que ces équations reviennent à dire que soit \(a\) et \(c\) sont tous les deux nuls, à moins que ce ne soit \(a\) et \(d,\) \(b\) et \(c\) ou encore \(b\) et \(d.\)

Soit, à titre d’exemple, le système suivant :

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {(3x + y - 1)(4x + 2y + 3) = 0}\\ {(5x - y + 4)(-x + 2y + 2) = 0} \end{array}} \right.\)

On doit donc résoudre quatre systèmes et obtenir, si tout se passe bien, quatre couples de solutions.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x + y - 1 = 0}\\ {5x - y + 4 = 0} \end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3x + y - 1 = 0}\\ {-x + 2y + 2 = 0} \end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x + 2y + 3 = 0}\\ {5x - y + 4 = 0} \end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {4x + 2y + 3 = 0}\\ {-x + 2y + 2 = 0} \end{array}} \right.\)

Tout se passe effectivement bien et l'on trouve \(S\) \(=\) \(\{(\frac{3}{8} \,;\frac{17}{8}) \,;\) \((\frac{4}{7}\,; - \frac{5}{7}) \,;\) \((-\frac{11}{14}\,; \frac{1}{14})\,;\) \((-\frac{1}{5} \,; - \frac{11}{10})\}.\)

 

Intersection de deux courbes

En analyse, il est habituel de chercher le point qui a le grand honneur d’accueillir le croisement de deux courbes (ou la droite qui se trouve au croisement de deux plans, etc.). Il existe des applications pratiques dans le domaine de la gestion (optimum technique, optimum économique, seuil de rentabilité, point d’équilibre, etc.). Si l’on dispose de l’expression algébrique de deux fonctions à étudier, la résolution suit souvent le même principe : on isole \(y\) (l’ordonnée, valeur que prend la fonction) avant de poser l’égalité entre les deux expressions, permettant de trouver la ou les valeurs de \(x\) puis les valeurs de \(y\) pour chaque solution \(x.\) En économie, il est fréquent d’étudier des fonctions à plusieurs variables. La résolution de systèmes disposant de trop peu d’équations requière alors soit la fixation des variables en trop (ce sont des « contraintes »), soit des solutions infinies mais structurées (voir plus haut la section « paramètres »).

 

yoga