Trois utilisations de la relation de Chasles
Le facteur distribue le courrier entre le 1er et le 11 de l’avenue des Vecteurs. Mais il doit aussi le distribuer entre le 11 et le 25. Donc, il le distribue entre le 1er et le 25. Cette évidence s’inscrit très bien dans le cadre d’une relation de Chasles. Mathématiquement, cette dernière s’applique aux vecteurs, aux angles et aux aires.
Les vecteurs
Le principe est enseigné dès la classe de troisième. Géométriquement, c’est la formulation du « vol d’oiseau » (voir les pages sur les combinaisons linéaires et d'initiation aux vecteurs, de niveau seconde).
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\)
Voyons un exercice simple, que vous pouvez compléter avec les exercices sur la relation de Chasles.
Soit quatre points quelconques du plan, bien entendu nommés \(A,\) \(B,\) \(C\) et \(D.\) Montrer que \(\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{DB}\) \(=\) \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\)
Nous allons réduire le nombre de vecteurs grâce à la relation de Chasles. Il existe une flopée de chemins différents pour arriver au résultat.
\(\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DB}\)
La relation de Chasles nous permet d’écrire : \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}\)
L’égalité est ainsi démontrée.
Exercices de niveau première générale : voir le théorème de la médiane et la droite d'Euler. Illustration pour le contrôle de gestion : voir la représentation vectorielle des écarts.
Les angles
Si l’on juxtapose deux angles qui partent d’un même point et qui « se touchent », la réunion des deux mesures est égale à la somme des deux angles (voir les paires d'angles). C’est d’ailleurs très intuitif. Évidemment, la relation fonctionne aussi pour la soustraction, comme nous allons le voir.
L’illustration qui suit est de niveau première générale.
Exercice : il est 7 h 27. Quel angle forment les deux aiguilles de la pendule ?
Les angles seront mesurés à partir de la position sur le 12 (soit 0 heure).
Nous le savons car c’est une règle de base de la trigonométrie, le tour complet d’un cercle est égal à \(2π\) radians. L’angle qui existe entre deux heures de la pendule est donc de \(\frac{2π}{12}.\)
Convertissons 7 h 27 en format décimal (ce sont bien sûr les minutes qui doivent être converties).
\(\frac{27}{60} = 0,45.\) Donc, il est 7,45 heures.
L’angle que forme la petite aiguille entre midi et 7,45 heures est ainsi de \(\frac{2 \pi \times 7,45}{12},\) donc \(1,242 π\) ou 3,9 environ.
Quel angle forme la grande aiguille par rapport à l’origine (le 12) ? Il est bien sûr de \(2 π × 0,45,\) donc \(0,9π\) ou, si l’on préfère, 2,827 environ.
La relation de Chasles implique que l’angle formé par les deux aiguilles est égal à l’angle formé par la petite (par rapport au point de départ qui est le 12) moins celui qui est formé par la grande (dans cet ordre-ci puisqu’à 7 h 27 la petite aiguille a « dépassé » la grande).
Donc, l’angle formé par les deux aiguilles s’établit à 1,073 radian (en degrés : 61,5°).
En page d'exercice sur l'orthogonalité avec produits scalaires (niveau première générale), vous appliquerez la relation de Chasles aux vecteurs ET aux angles.
Les aires
La relation de Chasles s’invite aussi au programme de terminale, cette fois par le truchement des intégrales.
\[\int_a^b {f(x)dx} + \int_b^c {f(x)dx} = \int_a^c {f(x)dx} \]
Exemple : quelle aire est comprise entre l’axe des abscisses, la fonction cube et les droites d’équation \(x = -1\) et \(x = 1\) ?
Une primitive de la fonction cube \(f:x \mapsto x^3\) s'écrit \(F(x) = \frac{1}{4}x^4.\) Une erreur serait de simplement calculer…
\[\left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_{ - 1}^1 = 0\]
En effet, une partie de la courbe est située sous l’axe des abscisses et l’autre au-dessus. Ces deux parties forment des aires égales. Cependant, l’opération n’est pas d’annuler une grandeur positive par une négative mais bien d’ajouter les deux. Nous allons donc utiliser la relation de Chasles pour additionner l’aire comprise entre -1 et 0 et celle qui se situe entre 0 et 1.
\[\mathscr{A} = \int_{ - 1}^0 {{x^3}dx} + \int_0^1 {{x^3}dx} \]
\[ \Leftrightarrow \mathscr{A} = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_{ - 1}^0 + \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^1\]
\[ \Leftrightarrow \mathscr{A} = \left| { - \frac{1}{4}} \right| + \left| {\frac{1}{4}} \right| = \frac{1}{2}\]
Mission accomplie. Par curiosité, visualisons…
