Le facteur distribue le courrier entre le 1^er et le 11 de l’avenue des Vecteurs. Mais il doit aussi le distribuer entre le 11 et le 25. Donc, il le distribue entre le 1^er et le 25. Cette évidence s’inscrit très bien dans le cadre d’une relation de Chasles. Mathématiquement, cette dernière s’applique aux vecteurs, aux angles et aux aires.

Les vecteurs

Le principe est enseigné dès la classe de troisième. Géométriquement, c’est la formulation du « vol d’oiseau » (voir page combinaisons linéaires).

Voyons un exercice tel qu’il peut être demandé à un élève de seconde.

Soit quatre points quelconques du plan, bien entendu nommés A, B, C et D. Montrer que :

Nous allons réduire le nombre de vecteurs grâce à la relation de Chasles. Il existe une flopée de chemins pour arriver au résultat. Je vous propose de ne faire apparaître que trois points de chaque côté de l’équation.

Donc…

La relation de Chasles nous permet d’écrire :

L’égalité est ainsi démontrée.

Exercices de niveau première S : voir page théorème de la médiane.

Les angles

Si l’on juxtapose deux angles qui partent d’un même point et qui « se touchent », la réunion des deux mesures est égale à la somme des deux angles. C’est d’ailleurs très intuitif. Évidemment, la relation fonctionne aussi pour la soustraction, comme nous allons le voir.

L’illustration qui suit est de niveau première S.

Exercice : il est 7 h 27. Quel angle forment les deux aiguilles de la pendule ?

Les angles seront mesurés à partir de la position sur le 12 (soit 0 heure).

Nous le savons car c’est une règle de base de la trigonométrie, le tour complet d’un cercle est égal à 2π radians. L’angle qui existe entre deux heures de la pendule est donc de 2π / 12.

Convertissons 7 h 27 en décimales (ce sont bien sûr les minutes qui doivent être converties). 27 / 60 = 0,45. Donc, il est 7,45 heures.

L’angle que forme la petite aiguille entre midi et 7,45 heures est ainsi de (2π × 7,45) / 12, donc 1,242π ou 3,9 environ.

Quel angle forme la grande aiguille par rapport à l’origine (le 12) ? Il est bien sûr de 2 π× 0,45, donc 0,9π ou, si l’on préfère, 2,827.

La relation de Chasles implique que l’angle formé par les deux aiguilles est égal à l’angle formé par la petite (par rapport au point de départ qui est le 12) moins celui qui est formé par la grande (dans cet ordre-ci puisqu’à 7 h 27 la petite aiguille a « dépassé » la grande).

Donc, l’angle formé par les deux aiguilles s’établit à 1,073 radian (en degrés : 61,5°).

Les aires

La relation de Chasles s’invite aussi au programme de terminale, cette fois par le truchement des intégrales.

Exemple : quelle aire est comprise entre l’axe des abscisses, la fonction cube et les droites d’équation x = -1 et x = 1 ?

Une primitive de la fonction cube f(x) = x³ est F(x) = ¼ x⁴. Une erreur serait de simplement calculer…

En effet, une partie de la courbe est située sous l’axe des abscisses et l’autre au-dessus. Ces deux parties forment des aires égales. Cependant, l’opération n’est pas d’annuler une grandeur positive par une négative mais bien d’ajouter les deux. Nous allons donc utiliser la relation de Chasles pour additionner l’aire comprise entre -1 et 0 et celle qui se situe entre 0 et 1.

Mission accomplie. Par curiosité, visualisons…