Les formules de la médiane

Démonstrations avec carrés scalaires

Cette page se présente sous forme d’exercices visant à montrer quelques bienfaits du carré scalaire, c’est-à-dire du produit scalaire entre un vecteur et lui-même, ainsi que d'intéressantes propriétés du produit scalaire.

\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} = A{B^2}\]

Il s’agit de démontrer les trois volets du « théorème de la médiane ».

Dans les exercices qui suivent nous considérons un point \(O\) qui est le milieu du segment \([AB]\) et un point \(M\) quelconque du plan (donc \(A,\) \(B\) et \(M\) forment un triangle).

 

Exercice 1

Montrer que \(M{A^2} - M{B^2}\) \(= 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {BA} .\)

 

Exercice 2

Montrer que \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}\) \(= M{O^2} - O{A^2}\)

 

Exercice 3

Montrer que \(M{A^2} + M{B^2}\) \(= 2M{O^2} + \frac{1}{2}A{B^2}\)

 

Corrigé 1

L’exercice est assez facile. Il faut d’abord se souvenir de l’identité remarquable \(a^2 - b^2\) \(= (a + b)(a - b).\)

\(M{A^2} - M{B^2}\) \(= \left(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} \right).\left(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} \right)\)

Il faut ensuite se remémorer la règle d’associativité du barycentre pour transformer le premier facteur.

\(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) = 2\overrightarrow {MO} \)

Quant au second facteur, il se simplifie grâce à la relation de Chasles.

\(\left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right)\) \(= \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MA}\) \(= \overrightarrow {BA} \)

On obtient bien \(M{A^2} - M{B^2}\) \(= 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {BA} .\)

 

Corrigé 2

Cet exercice utilise les mêmes propriétés que le précédent (relation de Chasles et identité remarquable).

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}\) \(= \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}\) \(= \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {MO} - \overrightarrow {OA} } \right)\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}\) \(= M{O^2} - O{A^2}\)

On trouve parfois une autre forme. En effet, en développant :

\(\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right).\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)\) \(= M{O^2} + \overrightarrow {MO} .\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OA} } \right) + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} \)

Comme le point \(O\) se situe au milieu de \([AB],\) le terme du milieu est égal au vecteur nul et le dernier terme est égal à \( - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{4}A{B^2}.\) Donc :

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = M{O^2} - \frac{1}{4}A{B^2}\)

 

Corrigé 3

La somme \(MA^2 + MB^2\) est égale à la somme des deux vecteurs au carré. Ces derniers peuvent être exprimés en introduisant le point \(O\) grâce à la relation de Chasles. Donc :

\(M{A^2} + M{B^2}\) \(= {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2}\)

Développons les deux identités remarquables.

\(M{A^2} + M{B^2}\) \(= M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OA} + O{A^2} + M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OB} + O{B^2}\)

Simplification.

\(M{A^2} + M{B^2}\) \(= 2M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right) + O{A^2} + O{B^2}\)

Jusqu’ici, \(O\) pouvait se situer n’importe où, les calculs n’utilisant pas le fait que ce point est le milieu de \([AB].\) Cette propriété nous permet à présent d’éliminer le deuxième terme puisque la somme des vecteurs \({\overrightarrow {OA} }\) et \({\overrightarrow {OB} }\) aboutit au vecteur nul.  Il n’en est pas de même de leurs carrés…

\(M{A^2} + M{B^2} = 2M{O^2} + O{A^2} + O{B^2}\)

Mais \(OA^2 = OB^2.\)

De plus, nous savons que le vecteur \({\overrightarrow {OB} }\) représente la moitié de \({\overrightarrow {AB} }.\) Donc son carré est égal à \(\frac{1}{4}A{B^2}\) (le même tour de passe-passe a déjà été expliqué dans l’exercice 2). Comme il apparaît deux fois dans notre formule, nous avons bien \(OA^2 + OB^2 = \frac{1}{2} AB^2.\) L’addition des deux carrés scalaires est démontrée.

Note : cette formule de la médiane peut aussi être démontrée sans utiliser les propriétés des produits scalaires mais seulement avec les DISTANCES.

Illustrons avec un exemple chiffré. Soit un triangle \(ABC.\) Les mesures des côtés sont les suivantes : \(AB = 4,\) \(AC = 2\) et \(BC = 3.\) Quelle est la longueur de la médiane issue de \(C\) (c’est-à-dire la longueur du segment \([OC],\) \(O\) étant le milieu de \([AB]\) ?

Médiane

En se calant exactement sur la formule démontrée à l'exercice 3 (avec \(C\) qui remplace \(M\)), il apparaît que \(2^2 + 3^2,\) c’est-à-dire 13, doit être égal à \(2CO^2 + 0,5(4)^2,\) donc \(2CO^2 + 8.\)

D’où \(5 = 2CO^2\) et donc \(CO\) a pour longueur la racine carrée de 2,5.

\(CO = \sqrt {2,5} \)

 

pépé et bébé