Cette page se présente sous forme d’exercices visant à montrer quelques bienfaits du carré scalaire, c’est-à-dire du produit scalaire entre un vecteur et lui-même, ainsi que de quelques intéressantes propriétés du produit scalaire.

Il s’agit de démontrer les trois volets du « théorème de la médiane », jadis enseigné en classe de première S.

Dans les exercices qui suivent nous considérons un point O qui est le milieu du segment [AB] et un point M quelconque du plan (donc, A, B et M forment un triangle).

Exercice 1

Montrer que :

L’exercice est assez facile. Il faut d’abord se souvenir de l’identité remarquable a² – b² = (a + b)(a – b).

Il faut ensuite se remémorer la règle d’associativité du barycentre pour transformer le premier terme.

Quant au second terme, il se simplifie grâce à la relation de Chasles.

On obtient bien le produit scalaire qu’il fallait trouver.

Exercice 2

Montrer que :

Cet exercice ressemble au précédent (relation de Chasles et identité remarquable).

On trouve parfois une autre forme. En effet, nous avons :

Comme le point O se situe au milieu de [AB], le terme du milieu est égal au vecteur nul et le dernier terme est égal à -½ AB . ½ AB = -¼ AB². Donc :

Exercice 3

Montrer que :

Réponse :

La somme MA² + MB² est égale à la somme des deux vecteurs au carré. Ces deux derniers peuvent être exprimés en introduisant le point O grâce à la relation de Chasles. On a donc :

Développons les deux identités remarquables.

Donc, en simplifiant…

Jusqu’ici, O pouvait se situer n’importe où, les calculs n’utilisant pas le fait que ce point est le milieu de [AB]. Cette propriété nous permet à présent d’éliminer le deuxième terme puisque la somme des vecteurs OA et OB aboutit au vecteur nul.  Il n’en est pas de même de leurs carrés…

Mais ces carrés sont les mêmes : OA² = OB².

De plus, nous savons que le vecteur OB représente la moitié de AB. Donc son carré est égal à ¼ AB² (le même tour de passe-passe a déjà été expliqué dans l’exercice 2). Comme il apparaît deux fois dans notre formule, nous avons bien OA² + OB² = ½ AB². L’addition des deux carrés scalaires est démontrée.

NB : cette formule de la médiane peut aussi être démontrée sans utiliser les propriétés des produits scalaires mais seulement avec les DISTANCES.

Illustrons avec un exemple chiffré. Soit un triangle ABC. Les distances sont les suivantes : AB = 4, AC = 2 et BC = 3. Quelle est la longueur de la médiane issue de C (c’est-à-dire la longueur du segment [OC], O étant le milieu de [AB]) ?

En se calant exactement sur la formule (avec C qui remplace M), il apparaît que 2² + 3², c’est-à-dire 13, doit être égal à 2CO² + 0,5(4)², donc 2CO² + 8.

D’où 5 = 2CO² et donc CO est égal à la racine carrée de 2,5.