Cette page d’exercices illustre l’associativité du barycentre. Le niveau de difficulté est celui d’une première S ou STI.

Le principe

Il revient au même de déterminer un barycentre entre trois points pondérés ou d’utiliser l’un de ces points et le barycentre des deux autres. La pondération de ce barycentre « partiel » est alors la somme des pondérations des deux points qui permettent sa construction. Cette propriété s’étend à un nombre quelconque de points.

Rappel : détermination d’un barycentre

Des points sont situés dans un plan. Certains sont plus « importants » que d’autres. En d’autres termes, ils ne sont pas forcément tous pondérés de la même façon et ils peuvent même l’être négativement. On note (A, a) un point A doté d’une pondération a.

Comment déterminer le barycentre G entre (A, a) et (B, b) ?

C’est tout simplement le principe d’une moyenne pondérée appliquée aux vecteurs.

Exercice 1

Soit un triangle quelconque ABC et deux points : Z qui est le barycentre des points pondérés (A, 1) et (C, 2) et M, barycentre de (Z, 2) et (B, 1). Exprimer M en fonction de A, B et C.

Corrigé

À titre d’information, voyons à quoi peut s’appliquer la description (NB : ZB et CA ne forment un angle droit que pour la commodité du dessin, l’angle pouvant fort bien être quelconque).

On doit donc remplacer Z par A et C dans la définition de M. Mais quelles pondérations leur affecter ?

Les deux points doivent se répartir une pondération de 2 (celle de Z). Or, c’est une pondération totale de 3 qui permet d’obtenir Z avec A et C. Il faut donc multiplier ces dernières par ⅔.

Donc, M est le barycentre de (A, 2 / 3), (C, 4 / 3) et (B, 1).

Exercice 2

Réalisons à présent le travail inverse. Nous partons de trois points pondérés et le but est de dessiner le triangle et son centre de gravité.

Les trois points sont (A, 2), (B, 3) et (C, 6).

Corrigé

Commençons par placer un barycentre partiel Z entre B et C. Le poids de C est deux fois supérieur à celui de B. Z se trouve donc au tiers de la distance entre C et B. Autrement dit, CZ = ⅓ CB.

Une fois placé Z, il reste à déterminer le barycentre M sur le segment [AZ].

Le poids de Z est 9 et celui de A est 2. Donc ZM = (2 / 11) ZA.

Évidemment, nous aurions aussi bien pu commencer l’exercice en déterminant un barycentre partiel entre A et C ou entre A et B…

Exercice 3

Tracer un quadrilatère ABCD. Où se situe le barycentre G si les points sont pondérés ainsi : (A, 2), (B, 3), (C, 6) et (D, -1) ?

Corrigé

Dans la mesure où la somme des pondérations de A et B est égale à la somme des pondérations de C et D, il sera pratique de déterminer deux barycentres partiels, G₁ entre A et B et G₂ entre C et D. Dès lors, G se trouvera au milieu de [G₁ , G₂].

Ainsi,

Et…

G₁ et G₂ peuvent désormais encadrer G = 0,5G₁G₂.

Une proposition d’illustration…