Géométrie et produits scalaires
Avec cet exercice de niveau première générale vous pourrez vous entraîner à manipuler les produits scalaires afin de démontrer une orthogonalité et une égalité de distances. Bon courage !
Soit deux carrés \(ABCD\) et \(BEFG.\)
1- Démontrer l’égalité \( - \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {EB} .\overrightarrow {BA} \)
2- Montrer que les droites \((EC)\) et \((AG)\) sont perpendiculaires.
3- Montrer que \(CE = AG.\)
Corrigé détaillé
1- Intéressons-nous de près aux quatre angles formés par \(B.\)
Nous savons que deux d'entre eux sont droits. Or, la somme des quatre angles formés par \(B\) vaut évidemment 360° ou \(2 \pi\) radians. Comme un angle droit mesure 90° (ou \(0,5 \pi\) radian), nous avons :
\(\widehat {EBA} + \widehat {CBG} = \pi\, {\rm{radians}}\).
Or, \(\cos(\alpha) + cos( - \alpha) = \pi \). Il s’ensuit que \(\cos \widehat {EBA} = - \cos \widehat {CBG}\)
Utilisons la formule du cosinus.
\( - \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BG} = - CB \times BG \times \cos \widehat {CBG}\)
De même, \(\overrightarrow {EB} .\overrightarrow {BA} = EB \times BA \times \cos \widehat {ABE}\)
Comme \(EB = BG\) et \(BA = BC\) nous obtenons bien \(\overrightarrow {EB} .\overrightarrow {BA} \) \(= BG \times BC \times \left( { - \cos \widehat {CBG}} \right)\) \(= - \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {BG} \)
2- Montrons que des vecteurs directeurs des droites \((EC)\) et \((AG)\) sont orthogonaux. Pour cela, nous utiliserons la propriété du produit scalaire nul. Nous devons donc vérifier que \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {EC} = 0\)
Mais les produits scalaires que nous connaissons sont définis avec le point \(B\) ! Qu’à cela ne tienne, faisons apparaître \(B\) avec la relation de Chasles…
\(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {EC} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BG} } \right)\left( {\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BC} } \right)\)
Distribuons : \(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {EC} \) \( = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {BC} \)
Nous savons que le deuxième terme ainsi que le troisième sont nuls puisque les vecteurs qui les composent sont construits à partir de côtés perpendiculaires de carrés.
\(\overrightarrow {AG} .\overrightarrow {EC} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {EB} + 0 + 0 + \overrightarrow {BG} .\overrightarrow {BC} \)
À la question 1 nous avons montré que \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BG} = - \overrightarrow {EB} .\overrightarrow {AB} \)
Par conséquent, le produit scalaire est nul et nous avons démontré l’orthogonalité \(\overrightarrow {AG} \bot \overrightarrow {EC} \)
Les droites \((EC)\) et \((AG)\) sont perpendiculaires.
3- Reste à démontrer que les distances \(EC\) et \(AG\) sont égales. Pour cela, utilisons le théorème d’Al Kashi, version produit scalaire.
\(E{C^2} = B{C^2} + B{E^2} - 2\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BE} \)
\( \Leftrightarrow A{G^2} = A{B^2} + B{G^2} - 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BG} \)
On sait que \(BC = AB\) et \(BG = BE.\)
Donc : \(E{C^2} - A{G^2} = - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BE} + 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BG} \)
\( \Leftrightarrow E{C^2} - A{G^2} = 2\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BG} - \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BE} } \right)\)
Il faut donc démontrer que \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BE} \)
Reproduisons le même raisonnement que plus haut.
\(\begin{array}{l} \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BG} = BA \times BG \times \cos \widehat {ABG}\\ \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BE} = BC \times BE \times \cos \widehat {CBE} \end{array}\)
Or \(BA = BC\) et \(BG = BE.\) Qu’en est-il des cosinus ?
\(\begin{array}{l} \widehat {ABG} = \widehat {ABE} + \widehat {EBG}\\ \widehat {CBE} = \widehat {CBA} + \widehat {ABE} \end{array}\)
Or, \(\cos \widehat {EBG} = \cos \widehat {CBA} = - \frac{\pi }{2}\)
L’égalité des cosinus implique l’égalité des produits scalaires, donc des distances au carré, donc des distances. \(EC\) et \(AG\) sont bien égales.
Ces propriétés sont illustrées ci-dessous où les carrés sont positionnés d'une autre façon…
