La linéarité des intégrales

Intégration et linéarité

Les intégrales sont comme les plantes médicinales : pleines de propriétés intéressantes. L’une d’elles, abordée en classe de terminale, est la linéarité. Étudions-en les différentes facettes…

 

Rappel préalable

Soit deux réels \(a\) et \(b,\) soit une fonction continue \(f\) définie sur l’intervalle \([a\,;b]\) et soit \(F\) une primitive de \(f\) sur cet intervalle. L’intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est égale au réel \(F(a) - F(b).\)

\[\int_a^b {f(t)dt} = F(b) - F(a)\]

 

Linéarité

Ci-dessous, \(a,\) \(b,\) \(k\) et \(m\) sont des réels ; \(f\) et \(g\) sont des fonctions continues définies sur \([a\,;b]\) et \(F\) et \(G\) sont leurs primitives respectives.

En premier lieu, la linéarité implique que :

\(\int_a^b {kf(x)dx} = k\int_a^b {f(x)dx} \) avec \(k \in \mathbb{R}\)

En effet, \(kF\) est une primitive de \(kf\) pour la bonne raison que :

\(\int_a^b {kf(x)dx}\) \(=\) \(kF(b) - kF(a)\) \(=\) \(k\left[ {F(b) - F(a)} \right]\) \(=\) \(k\int_a^b {f(x)dx} \)

Seconde formule de linéarité : l’intégrale de la somme est la somme des intégrales.

\(\int_a^b {f(x)dx} + \int_a^b {g(x)dx}\) \(=\) \(\int_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} \)

Il est là encore simple d’expliquer pourquoi :

\(\int_a^b {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx}\) \(=\) \(\left[ {F(b) + G(b)} \right] - \left[ {F(a) + G(a)} \right]\)

Il s’ensuit que :

\(F(b) - F(a) + G(b) - G(a)\) \(=\) \(\int_a^b {f(x)dx} + \int_a^b {g(x)dx} \)

La combinaison de ces deux formules permet de vous en offrir une troisième…

\(\int_a^b {\left[ {kf(x) + mg(x)} \right]dx}\) \(=\) \( k\int_a^b {f(x)dx} + m \int_a^b {g(x)dx} \)

calculs

 

Exemple

 Comment intégrer une fonction homographique ?

Soit la fonction \(f\) définie sur \(]-0,5\,;+\infty[\) par \(f(x) = \frac{x - 2}{2x + 1}\)

Calculons \(\int_2^{10} {f(x)dx} \)

Pour cela, factorisons d’abord l’expression pour que \(x\) ait le même coefficient au numérateur et au dénominateur.

\(f(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2x - 4}{2x + 1}\)

Ensuite, faisons apparaître la même expression au numérateur qu’au dénominateur.

\(f(x) = \frac{1}{2} \times \frac{2x + 1 - 5}{2x + 1}\)

En découpant le quotient, nous obtenons…

\(f(x) = \frac{1}{2}\left(\frac{2x + 1}{2x + 1} - \frac{5}{2x + 1}\right)\)

Bien sûr, l’étape suivante est celle-ci :

\(f(x) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{5}{2x + 1}\right)\)

Et voilà ! Notre fonction est prête pour le grand saut ! Son intégration !

Sachant qu’une primitive de \(\frac{u'(x)}{u(x)}\) est \(\ln u(x)\), il n’est pas trop ardu d’obtenir l’expression suivante (avec un peu d’habitude) :

\(F(x) = \frac{1}{2}\left[x - \frac{2}{2} \ln (2x + 1) \right] \)

Nous pouvons utiliser la propriété de linéarité :

\(\int_2^{10} {f(x)dx}\) \(=\) \(\frac{1}{2}\left[ {\left( {10 - \frac{{5\ln 21}}{2}} \right) - \left( {2 - \frac{{5\ln 5}}{2}} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow \int_2^{10} {f(x)dx}\) \(=\) \(4 - \frac{{5\ln 21}}{4} + \frac{{5\ln 5}}{4}\)

Grâce à la calculatrice, il est possible de déterminer une valeur approchée : environ 2,206.

 

Exercice pas trop difficile

En utilisant la propriété de linéarité, calculez le nombre \(N\) :

\(N = 2\int_0^2 {\frac{{{x^2}}}{{{e^x}}}} dx + \int_0^2 {{x^2}(1 - 2{e^{ - x}})dx} \)

 

Correction

\(N =\) \(\int_0^2 {\left( {\frac{{2{x^2}}}{{{e^x}}} + {x^2} - \frac{{2{x^2}}}{{{e^x}}}} \right)} dx\) \(=\) \(\int_0^2 {{x^2}dx} \)

Nous savons qu’une primitive de \(f(x) = x^2\) est \(F(x) = \frac{1}{3}x^3.\) Donc…

\(N = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3}\)

Voir aussi la page d'exercice sur une suite d'intégrales...

 

bizut