Une suite d'intégrales

Exercice synthétique d'analyse (terminale S)

« Je vous parle d’un temps
Que les moins de vingt ans
Ne peuvent pas connaître… »

Ainsi chantait Charles Aznavour dans la Bohême. Ce temps-là, c’est celui où, en filière LITTÉRAIRE, les lycéens planchaient au bac sur… des suites d’intégrales !

Alors, à titre d’exercice, il peut être intéressant, pour les élèves de terminale S d’aujourd’hui, de présenter un extrait du sujet de 1985 (Étranger, groupe I, bac A).

 

Exercice

L’exercice a pour objet d’étudier la suite \((I_n)\) définie pour tout entier naturel par les relations

\({I_0} = \int_0^1 {\frac{1}{{1 + {e^x}}}dx,} \) \({I_1} = \int_0^1 {\frac{e^x}{{1 + {e^x}}}dx,... ,} \) \({I_n} = \int_0^1 {\frac{e^{nx}}{{1 + {e^x}}}dx}... \)

  1. Calculer \(I_0 + I_1\) et \(I_1.\) En déduire la valeur de \(I_0.\)

  2. Calculer \(I_n + I_{n+1}\) en fonction de \(n.\) En déduire les valeurs de \(I_2\) et \(I_3.\)

  3. Comparer \(e^{nx}\) et \(e^{(n+1)x}\) lorsque \(x \in [0\,;1].\) En déduire, sans essayer de calculer \(I_n,\) que la suite \((I_n)\) est croissante.

  4. Montrer que, pour tout nombre \(x \in [0\, ; 1],\) \(\frac{1}{4} \leqslant \frac{1}{1 + e^x} \leqslant \frac{1}{2}\)

    En déduire un encadrement de \((I_n)\) ; à cet effet, on calculera \(\int_0^1 {{e^{nx}}dx} \)

  5. Quelle est la limite de la suite \((I_n)\) ?

 

Corrigé

1) En raison de la propriété de linéarité de l’intégrale, nous pouvons écrire :

\({I_0} + {I_1}\) \(= \int_0^1 {\frac{{1 + {e^x}}}{{1 + {e^x}}}dx}\) \(= \int_0^1 {1dx}\) \(= 1\)

Pour intégrer \(I_1,\) nous devons trouver une primitive d’une fonction de type \(\frac{u'(x)}{u(x)}.\) Donc cette primitive est une fonction composée d’une fonction logarithme.

\(I_1\) \( = \left[ {\ln (1 + {e^x})} \right]_0^1\) \(=\ln(1 + e) - \ln(1 + e^0)\) \(= \ln\frac{1 + e}{2}\)

Si nous connaissons \(I_0 + I_1\) et \(I_1,\) il est facile de déterminer \(I_0\) par différence.

\(I_0 = 1 - \ln\frac{1 + e}{2}\)

\(\Leftrightarrow I_0 = \ln e - \ln(1 + e) + \ln 2\)

\(\Leftrightarrow I_0 = \ln \frac{2e}{1 + e}\)

2) Pour tout entier naturel \(n…\)

\[{I_n} + {I_{n + 1}} = \int_0^1 {\frac{{{e^{nx}} + {e^{(n + 1)x}}}}{{1 + {e^x}}}dx} \]

Factorisons par \(e^{nx}.\)

\[{I_n} + {I_{n + 1}} = \int_0^1 {\frac{{{e^{nx}}(1 + {e^x})}}{{1 + {e^x}}}dx} \]

\[ \Leftrightarrow {I_n} + {I_{n + 1}} = \int_0^1 {{e^{nx}}dx} \]

Pour tout \(n \ne 0,\) une primitive de \(e^{nx}\) est \(\frac{e^{nx}}{n}.\)

\({I_n} + {I_{n + 1}}\) \(= \frac{1}{n}\left[ {{e^{nx}}} \right]_0^1\) \(= \frac{{{e^n} - 1}}{n}\)

Nous trouverons encore les valeurs de \(I\) par différence. En effet, en remplaçant \(n\) par 1 il apparaît que \(I_2 + I_1 = e - 1.\) Donc \(I_2 = e - 1 - \ln\frac{1 + e}{2}\)

Et en remplaçant \(n\) par 2, \(I_2 + I_3 = \frac{e^2 - 1}{2}\)

Là encore, par différence \(I_3\) \(= \frac{e^2-1}{2} - e + 1 + \ln\frac{1 + e}{2}\)

On peut chercher une écriture plus élégante.

\(I_3\) \(= \frac{(e - 1)(e + 1) - 2(e - 1)}{2}\) \(+ \ln \frac{1 + e}{2}\)

En factorisant le numérateur du premier terme par \((e - 1)\) nous obtenons :

\(I_3\) \(= \frac{(e - 1)^2}{2} + \ln\frac{1 + e}{2}\)

3) La fonction exponentielle étant strictement croissante, nous avons, pour tout entier naturel \(n\) et pour tout réel \(x\) compris entre 0 et 1 : \(e^{nx} \leqslant e^{(n+1)x}\)

Note : l’inégalité est large car si \(x = 0\) il y a égalité.

\[\frac{e^{nx}}{1 + e^x} \leqslant \frac{e^{(n+1)x}}{1 + e^x}\]

Donc, sur l’intervalle \([0\,;1],\) \(I_n \leqslant I_{n+1}.\)

4) Comme \(x \in [0\, ;1],\) nous avons \(2 \leqslant 1 + e^x \leqslant 1 + e.\)

\(\frac{1}{4} \leqslant \frac{1}{1 + e^x} \leqslant \frac{1}{2}\)

Note : la première inégalité est en fait stricte mais nous nous conformons à l’énoncé.

Multiplions les membres par \(e^{nx}.\)

\(\frac{e^{nx}}{4} \leqslant \frac{e^{nx}}{1 + e^x} \leqslant \frac{e^{nx}}{2}\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{4} \int_0^1{e^{nx}dx} \leqslant I_n \leqslant \frac{1}{2} \int_0^1{e^{nx}dx} \)

Nous avons déjà déterminé cette intégrale à la question 2. Pour tout \(n > 0…\)

\(\frac{e^n - 1}{4n} \leqslant I_n \leqslant \frac{e^n - 1}{2n}\)

En nous référant aux limites de fonctions exponentielles et aux propriétés des limites de suites :

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{e^n} - 1}}{{4n}} = + \infty \) donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } I_n = + \infty \)