Quelques propriétés sur les limites de suites

Suites : limite monotone et théorèmes d'encadrement

En classe de terminale, la recherche d’une limite de suite est une sorte de chasse au trésor. Alors qu’on manque d’éléments pour en apprécier les applications pratiques, elle apparaît comme un jeu intellectuel particulièrement stimulant (et si vous n’aimez pas ça, efforcez-vous de voir les choses sous cet angle !).

 

Trois approches

Trois types d’approches figurent au programme de terminale S.

1- Les suites de type \(q^n\)

Voir la page limites des suites de type \(q^n\).

2- La limite monotone

Pour quiconque possède des notions sur les limites de suites, les théorèmes ne provoqueront aucune stupéfaction…

Une suite croissante et majorée admet une limite finie. Il en est de même d’une suite décroissante et minorée.

À l’inverse, une suite croissante non majorée admet pour limite \(+\infty\) et une suite décroissante non minorée admet pour limite \(-\infty.\)

En fin de page, vous trouverez un exercice de convergence monotone issu d’une épreuve du bac S.

3- Les comparaisons

Là encore, des théorèmes formalisent des règles assez intuitives. Ils ne s’appliquent d’ailleurs pas uniquement aux suites mais aux fonctions à valeurs dans \(\mathbb{R}\) (voir les encadrements de fonctions).

A- Soit deux suites \((u_n)\) et \((v_n).\) À partir d’un certain rang, \(v_n \geqslant u_n.\) Par ailleurs, la limite de \((u_n)\) est \(+\infty.\) On en conclut que la limite de \((v_n)\) est également \(+\infty.\) Démonstration en page de démonstrations sur les suites.

Réciproquement, si à partir d’un certain rang \(v_n \leqslant u_n\) et si la limite de \((u_n)\) est \(-\infty,\) alors la limite de \((v_n)\) est \(-\infty.\)

Exemple : soit \((u_n)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par \(u_n = n^2 + \sin(n).\) Quelle est la limite de \((u_n)\) ?

Nous sommes embêtés par \(\sin(n)\) qui n’admet aucune limite… Nous savons juste que \(-1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1.\) En revanche, il est de notoriété publique que la limite de \(n^2\) est \(+\infty.\)

Minorons \((u_n)\) par une suite qui a pour limite \(+\infty.\)

Comme \(\sin(n) \geqslant -1,\) alors \(n^2 + \sin(n) \geqslant n^2 - 1.\)

Or : \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({n^2} - 1) = + \infty \)

Par conséquent, la limite de la suite \((u_n)\) est \(+\infty.\)

B- Si \((u_n)\) est croissante et si sa limite est un réel, alors tous les termes de \((u_n)\) sont inférieurs ou égaux à ce réel.

Évidemment, si \((u_n)\) est décroissante et si sa limite est un réel, alors tous les termes de \((u_n)\) sont supérieurs ou égaux à ce réel.

C- Enfin, le théorème de l’encadrement, ou des « gendarmes ». Soit trois suites \((u_n),\) \((v_n)\) et \((w_n).\) À partir d’un certain rang, \(u_n \leqslant v_n \leqslant w_n.\) Si les limites de \((u_n)\) et de \((w_n)\) sont un même réel, alors la limite de \((v_n)\) est elle aussi ce réel.

Exemple : déterminons la limite de la suite \((u_n)\) définie comme suit :

\[u_n = \frac{(-1)^n}{n^2}\]

Nous savons que \((-1)^n\) est égal à -1 si \(n\) est impair et à 1 si \(n\) est pair. Nous pouvons donc écrire \(-1 \leqslant (-1)^n \leqslant 1.\) Il s’ensuit que :

\[-\frac{1}{n^2} \leqslant \frac{(-1)^n}{n^2} \leqslant \frac{1}{n^2}\]

Notre suite est à présent encadrée.

La limite des deux suites encadrantes est parfaitement connue : c’est zéro.

\(\mathop {\lim} \limits_{n \to \infty} \left(- \frac{1}{n^2} \right)\) \(= \mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n^2} \right)\) \(=0\)

Grâce au théorème de l’encadrement, nous concluons que la limite de \((u_n)\) est 0.

L’exercice qui suit est extrait de l’épreuve du bac S de septembre 2008, Polynésie. Un autre exercice figure en page suite d'intégrales.

 

Exercice

On considère la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par \(v_0 = 6\) et, pour tout entier naturel \(n,\) \(v_{n+1} = 1,4v_n - 0,05v_n^2.\)

1) Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 1,4x - 0,05x^2\)

a) Étudier les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([0\,;8].\)
b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n,\) \(0 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 8.\)

2) En déduire que la suite \((v_n)\) est convergente et déterminer sa limite \(l.\)

 

Corrigé

1) a) Étudions les variations de la fonction \(f.\) Nous avons le choix entre une déduction directe à partir de \(f\) ou l’étude du signe de sa dérivée. Optons pour cette dernière.

Soit \(f'\) la dérivée de \(f\) ; \(f’ = -0,1v_n + 1,4\)

L'équation \(-0,1v_n + 1,4 = 0\) équivaut à \(v_n = 14.\) Or \(14 > 8\) et \(f’\) est strictement décroissante. Donc f’ est strictement positive sur l’intervalle \([0\,;8]\) et \(f\) est strictement croissante.

b) La récurrence.

Initialisation : \(v_0 = 6\) et \(v_1 = (1,4 × 6) - (0,05 × 36) = 6,6.\) Nous vérifions bien \(0 \leqslant v_n < v_{n+1} \leqslant 8\)

Hérédité : supposons que \(v_n\) est vraie pour un entier naturel \(n\) fixé.

Nous avons \(v_{n+2} = f(v_{n+1}).\) D’après la question a), \(f\) est croissante sur \([0\,;8].\) Par conséquent, \(0 \leqslant f(v_p) \leqslant f(v_{p+1}) \leqslant 8\) et donc \( 0 \leqslant v_{p+1} \leqslant v_{p+2} \leqslant f(8).\) Or, \(f(8) = 8.\) L’hérédité est démontrée.

Conclusion : \(0 \leqslant v_n \leqslant v_{n+1} \leqslant 8.\)

2) La suite \((v_n)\) est croissante et majorée par 8. Selon le théorème de la limite monotone, elle est convergente.

À l’infini, \(v_n = 1,4v_n - 0,05v_n^2\)
\(\Leftrightarrow 0,05v_n^2 - 0,4v_n = 0\)
\(\Leftrightarrow v_n(0,05v_n - 0,4) = 0\)
\(\Leftrightarrow v_n = 0\) ou \(0,05v_n = 0,4\) (il est impossible qu’à l’infini \(v_n\) soit nul)
\(\Leftrightarrow v_n = 8\)

La limite de \((v_n)\) est donc 8.

 

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