Inégalité de Bernoulli et limites de suites
Vous l’attendiez tous, voici le détail des limites des suites géométriques, de premier terme \(u_0 = 1.\)
D’abord, deux démonstrations de niveau terminale générale (spécialité maths). Si vous pensiez que votre prof vous raconte des histoires en vous assenant des formules sur les limites de suites, voilà qui devrait dissiper tout malentendu : vous aurez la preuve qu'il a raison.
La première démonstration est celle de l’inégalité de Bernoulli et la seconde, qui en découle, est celle de la limite de la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = q^n\) (\(q\) étant un réel strictement supérieur à 1 et \(n\) un entier naturel).
Ensuite, six études supplémentaires de limites, selon les autres valeurs prises par la raison.
Inégalité de Bernoulli
Que dit-elle ? Que pour tout entier \(n\) et tout réel \(x,\) nous avons \((x + 1)^n \geqslant nx + 1\) (propriété \(P(n)\) à vérifier).
Pourquoi ? Mettons en œuvre une démonstration par récurrence.
Initialisation : soit \(n = 0.\)
Donc \((x + 1)^0 = 1\) et \(0x + 1 = 1.\)
Comme \((x + 1)^0 = 0x + 1,\) \(P(0)\) est vraie.
Note : vous trouverez aussi l’inégalité stricte de Bernoulli, qui ne fonctionne pas pour \(n = 0,\) comme nous venons de le montrer, mais pour \(n > 1\) (pour \(n = 1,\) nous obtenons aussi une égalité). De plus \(x\) doit être un réel non nul.
On initialise alors la récurrence avec \(n = 2\) en développant l’identité remarquable :
\((x + 1)^2\) \(= x^2 + 2x + 1 \geqslant 2x + 1\) ce qui signifie que \(P(2)\) est vraie (ce qui ne serait pas le cas si \(x\) était nul).
Hérédité : soit un entier naturel \(n.\) Nous devons montrer que \((x + 1)^{n+1}\) \(\geqslant (n + 1)x + 1\)
L’astuce consiste à multiplier les deux membres de l’inégalité de départ par \((x + 1).\)
On obtient \((x + 1)(x + 1)^n\) \(\geqslant (nx + 1)(x + 1)\)
\((x + 1)^{n+1}\) \(\geqslant nx^2 + x + nx + 1\)
\(⇔ (x + 1)^{n+1}\) \(\geqslant nx^2 + (n + 1)x + 1\)
Comme \(nx^2 \geqslant 0,\) l’inégalité est bien vérifiée. La propriété est héréditaire.
Conclusion : pour tout entier \(n \geqslant 0\) et pour tout réel \(x > 0,\) \((x + 1)^n \geqslant nx + 1\)
Remarque : si l'on remplace \(n\) par \(r,\) réel positif, nous sommes en présence d’une fonction exponentielle de base \(q\). La limite est également infinie.
Théorème
Soit \(q \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}.\) Si \(q > 1,\) alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {q^n} = + \infty \)
Démonstration : posons \(q = x + 1\) (changement de variable). Donc \(x > 0.\)
Comme le produit d’un nombre positif infiniment grand avec un nombre positif est infiniment grand lui aussi, nous avons \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } nx = + \infty \)
La limite de \((nx + 1)\) est également infinie.
Or, selon l’inégalité de Bernoulli, \((x + 1)^n \geqslant nx + 1.\) Donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {(x + 1)^n} = + \infty \)
Comme \(x + 1 = q,\) nous avons démontré que la limite de \(q^n\) est \(+\infty.\)
Note : la démonstration serait la même en remplaçant \(n \in \mathbb{N}\) par \(r \in \mathbb{R}.\)
Autres limites selon la valeur de \(q\) (avec \(n \in \mathbb{N}\))
1- Si \(q = 1,\) \(q^n = 1\) quel que soit \(n.\) Donc \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {q^n} = 1\)
2- Si \(q \in ]0\,;1[,\) la démonstration nécessite là aussi un changement de variable. Soit \(Q = \frac{1}{q}.\)
Donc \(Q > 1\) et \(q = \frac{1}{Q}.\)
Ainsi :
\[q^n=\frac{1}{Q^n}\]
Si la limite à l’infini de \(Q^n\) est l’infini, ce que nous avons démontré plus haut, alors \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{Q^n}}} = 0\)
Par conséquent \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {q^n} = 0\)
3- Si \(q = 0,\) nous avons \(q^n = 0,\) quel que soit \(n.\) Il s’ensuit que \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {q^n} = 0\)
4- Si \(q \in ]-1\,;0[,\) sa valeur absolue est quant à elle comprise entre 0 et 1.
Or, \({\left| q \right|^n} = \left| {{q^n}} \right|,\) dont nous avons vu que la limite est zéro. Vous avez deviné que le scénario se termine encore de la même manière : \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {q^n} = 0\)
5- Si \(q = -1.\) Soit \(n\) est pair et \(q^n = 1,\) soit \(n\) est impair et \(q^n = -1.\) La limite n’existe pas.
6- Si \(q < -1,\) alors \(|q| > 1.\)
D’après ce que nous avons vu, la limite de \(|q^n|\) est infinie. Mais si \(n\) est pair, cette limite est \(+ \infty\) tandis que si \(n\) est impair elle est \(- \infty.\) Là encore, la limite n’existe pas. No limit !
