Opérations simples sur les limites de suites
La recherche de la limite d’une suite peut être un jeu d’enfant mais elle peut aussi se révéler un challenge intellectuellement très stimulant !
Opérations
Lorsque l’expression d’une suite s’apparente à celle d’une fonction définie sur \(\mathbb{R}\), où apparaît plusieurs fois l’entier naturel \(n,\) on peut considérer qu’il s’agit d’une somme, d’un produit ou d’un quotient de plusieurs suites. Soit par exemple \((u_n)\) définie par \(u_n = n^2 + \sin(n)\) ; on considérera qu’il s’agit de la somme d’une suite définie par \(v_n = n^2\) et d’une autre définie par \(w_n = \sin(n).\)
Supposons que \(n\) n’apparaisse que deux fois. Nous sommes en présene d'une composition de deux suites. Si elles tendent vers la même limite, pas de problème. Mais si elles se dirigent dans des directions opposées, il faut savoir laquelle l’emportera !
Ainsi, certaines limites sont évidentes à déterminer. Elles sont résumées dans les tableaux ci-dessous (inutile de les apprendre par cœur, les résultats se trouvent facilement). Il arrive aussi que des calculs complémentaires doivent être effectués pour arriver à une forme dûment homologuée ! Ces situations sont indiquées sous l’abréviation FI (forme indéterminée).
Ci-dessous, \(m\) et \(m’\) désignent deux réels.
Additions
Tableau 1
Produits
Tableau 2
Bien sûr, la règle des signes permet de savoir si la limite est plus ou moins l’infini.
Quotients
On considérera que \((v_n)\) est un numérateur et \((w_n)\) au dénominateur. On considérera aussi que \(m\) et \(m’\) sont différents de 0.
Tableau 3
Lorsqu’à l’infini \((w_n)\) tend vers 0, mais bien sûr sans jamais l’atteindre car le quotient n’aurait alors pas le bonheur d’exister, les limites sont les suivantes :
Tableau 4
Exemples
1- Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_n = \frac{1}{n} + n^3\)
À l’infini, la fonction inverse tend vers 0 (tableau 3, deuxième colonne) tandis que la fonction cube tend vers \(+ \infty.\) Par conséquent, la limite de \((u_n)\) est \(+ \infty\) (tableau 1, deuxième colonne).
2- En revanche, si nous sommes en présence d’une suite \((u_n)\) définie par \(u_n = n^2 - n,\) le doute s’installe (tableau 1, quatrième colonne). Transformons cette expression en la factorisant et nous obtenons \(u_n = n(n - 1),\) donc un produit de suites. Or, un produit de deux facteurs dont les limites tendent vers \(+ \infty\) tend lui aussi vers \(+ \infty\) (tableau 3, troisième colonne). Ainsi :
\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } ({n^2} - n)\) \(= \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } n(n - 1)\) \(= + \infty \)
3- Soit une autre suite \((u_n)\) définie par \(u_n\) \(= \sqrt{2n + 1} - \sqrt{2n - 1}\)
Sa limite est indéterminée (tableau 1, quatrième colonne). Toutefois, une différence de racines doit vous orienter vers la multiplication par la quantité conjuguée.
Simplifions le numérateur.
\(u_n\) \(= \frac{(2n + 1) - (2n - 1)}{\sqrt{2n + 1} + \sqrt{2n - 1}}\)
\(\Leftrightarrow u_n\) \(= \frac{2}{\sqrt{2n + 1} + \sqrt{2n - 1}}\)
Maintenant, nous sommes dans une configuration parfaitement claire (tableau 3, deuxième colonne). La limite de \((u_n)\) est 0.
4- Suite homographique.
\(u_n = \frac{an + b}{cn + d}\)
Forme indéterminée (tableau 3, quatrième colonne). Pour lever l’indétermination, l’astuce consiste à factoriser le numérateur et le dénominateur par \(n.\)
\[{u_n} = \frac{{n\left( {a + \frac{b}{n}} \right)}}{{n\left( {c + \frac{d}{n}} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow {u_n} = \frac{{a + \frac{b}{n}}}{{c + \frac{d}{n}}}\]
À l’infini, les quotients ayant \(n\) au dénominateur tendent vers 0 (tableau 3, colonne 2). Il reste donc un quotient égal à \(\frac{a}{c}\) qui est par conséquent la limite de \((u_n)\) (tableau 3, première colonne).
Mais encore...
Certaines opérations sur les limites sont employées en page limites de type \(q^n\) et en page propriétés des limites de suites.
Pour vous entraîner sur quelques formes indéterminées, visitez la page d'exercices sur les limites de suites.
