Démonstrations de limites avec fonction exp
Déterminons les limites à l’infini de la fonction exponentielle. Leurs démonstrations sont exigibles en classe de terminale et ce ne sont pas vraiment les plus simples du programme !
Limites de la fonction exponentielle
1- Les deux limites à connaître sont les suivantes :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty} e^x = 0\) et \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)
Pour démontrer la première, il faut d’abord prouver que, pour tout réel \(x\), on vérifie \(e^x > x.\) C’est-à-dire que si nous définissons une fonction \(f\) par \(f(x) = e^x - x\) elle doit être positive. Vérifions-le.
Cette fonction est dérivable puisqu’elle est la somme de deux fonctions dérivables. Sa dérivée a pour expression \(f’(x) = e^x - 1.\)
Pour quelle(s) valeur(s) \(f\) admet-elle un ou des extremum(s) ?
\(f’(x) = 0\)
\(e^x - 1 = 0\)
\(⇔ e^x = 1\)
\(⇔ x = 0\)
Nous savons que pour tout \(x < 0,\) \(e^x > 1\) et pour tout \(x > 0,\) \(e^x > 1\) (voir la page exponentielle).
Donc pour tout \(x < 0,\) \(f’(x) < 0\) et pour tout \(x > 0,\) \(f’(x) > 0.\)
Nous en déduisons que \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,; 0[\) et strictement croissante sur \(]0\,; +\infty[.\)
Elle admet donc un minimum en \(x = 0\) et celui-ci est égal à 1.
Conclusion : \(f\) est strictement positive. Donc quel que soit \(x,\) \(e^x > x.\)
Par définition, la limite de \(x\) en \(+\infty\) est \(+\infty.\) Donc la limite de \(e^x\) en \(+\infty\) est \(+\infty\) (limite par comparaison).
2- Il est moins immédiat de déterminer la limite de la fonction exponentielle en \(-\infty\) mais l’opération n’a rien d’insurmontable. Il faut juste procéder à un tour de passe-passe.
Par définition, \(e^x = \frac{1}{e^{-x}}\)
Procédons à un changement de variable. Soit \(X = -x.\) Nous cherchons donc une limite en \(+\infty.\) Soit \(\mathop {\lim }\limits_{X \to +\infty} \frac{1}{e^X}\)
Il apparaît que cette limite est nulle (limite d’une fonction composée). La limite de la fonction exponentielle en \(-\infty\) est égale à \(0^+.\)
Exploitation des résultats précédents
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
1- Démontrons la limite suivante :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty\)
D'abord pour \(n = 1.\)
Il existe plusieurs voies pour procéder à la démonstration ; celle qui suit est peut-être différente de ce que vous avez pu voir par ailleurs.
Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)=e^x-\frac{x^2}{2}\]
Sa dérivée a pour expression \(f’(x) = e^x - x\)
Nous avons vu que pour tout \(x\) nous avons \(e^x > x.\) Donc cette dérivée est positive. Il s’ensuit que \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}.\)
Il apparaît en outre que \(f(0) = 1.\) Ainsi, pour tout \(x\) strictement positif (rappelons que nous cherchons une limite en \(+\infty\)), la fonction est positive. On peut donc en déduire l’inégalité suivante :
\(e^x > \frac{x^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow \frac{e^x}{x} > \frac{x}{2}\)
Or il est évident que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{2} = +\infty\)
Par comparaison de limites, nous avons démontré notre proposition initiale.
Soit maintenant \(n > 1.\)
Nous cherchons la limite à l'infini de \(\frac{e^x}{x^n}\) que l'on peut aussi écrire...
\[\frac{\left(e^{\frac{x}{n}}\right)^n}{\left(n \times \frac{x}{n}\right)^n} = \left(\frac{1}{n} \times \frac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}}\right)^n\]
Or nous savons que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{n} = +\infty\) et nous avons démontré plus haut que \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty.\) Il s'ensuit que, par composition :
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} \frac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}} = +\infty\]
Si nous multiplions par l'inverse de \(n\), nombre positif, la limite reste infinie (l'infini divisé par un réel positif reste l'infini).
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{1}{n} \times \frac{e^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}}\right) = +\infty\]
Par propriété des fractions, on écrit plus simplement \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} \frac{e^{\frac{x}{n}}}{x} = +\infty\)
On peut aussi élever notre expression à la puissance \(n\), la limite reste \(+ \infty\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{e^{\frac{x}{n}}}{x}\right)^n = +\infty\) que l'on peut écrire, par propriété des puissances, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty.\) La démonstration est faite.
Inversement, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty} \frac{x^n}{e^x} = 0.\)
2- Démontrons à présent la limite suivante (non exigible au programme) :
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty} x e^x = 0.\)
L’idée est d’utiliser la limite démontrée plus haut en réutilisant le changement de variable.
Transformons l’expression \(xe^x\) en \(-(-x)e^{-(-x)}.\)
Écrit autrement, nous cherchons \(\mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty} -\frac{-x}{e^{-x}}\)
Bon, nous avons tout compliqué. Le changement de variable où \(X = -x\) se traduit par l’expression suivante : \(\mathop {\lim }\limits_{X \to +\infty} -\frac{X}{e^{X}}\)
Nous nous approchons à grands pas de la limite de l'expression vue précédemment puisque nous sommes en présence de l’opposée de son inverse. Réécrivons.
\[-\frac{X}{e^X} = -\frac{1}{\frac{e^X}{X}}\]
Et là tout s’éclaire. En effet, nous avons vu qu’à plus l’infini le dénominateur tendait vers plus l’infini (Cf. la démonstration avec \(n = 1\)). Donc, par composition…
\[\mathop {\lim }\limits_{X \to +\infty} -\frac{1}{\frac{e^{X}}{X}} = 0\]
CQFD.
