Exercices sur les suites avec calculatrice
Les rappels qui suivent et les exercices qui les illustrent ont été prioritairement écrits pour les élèves de première mais bien entendu, ce n’est pas une « chasse gardée » et toute personne qui a reçu un enseignement d’initiation aux suites devrait y trouver un certain intérêt… Le premier exercice est un prétexte pour montrer comment utiliser une calculatrice (l'emploi d'un tableur, moins fréquent dans les filières générales qu'en filière technologique, est illustré en page suites géométriques avec Excel).
Rappels
Une suite est arithmétique si chacun de ses termes est obtenu en ajoutant un même nombre \(r\) (la raison) au terme précédent. Si \(r > 0\) la suite est croissante et si \(r < 0\) elle est décroissante. L’évolution d’une suite arithmétique est dite linéaire (graphiquement, elle est représentée par des points alignés sur une droite).
Une suite est géométrique si chaque terme est égal à son terme précédent multiplié par un même nombre \(q\) (la raison). Si \(0 < q < 1,\) une suite géométrique à termes positifs est décroissante (seules les suites géométriques à termes POSITIFS ont des applications pratiques et sont au programme de première). Si \(q > 1,\) la suite est croissante. Son évolution est dite exponentielle.
Une suite est constante lorsque tous ses termes sont identiques. On peut considérer qu’il s’agit d’une suite arithmétique de raison \(r = 0\) ou d’une suite géométrique de raison \(q = 1.\)
Exercice 1
Madame Trucmuche a gagné 10 000 euros et souhaite placer cette somme sur un compte. Elle a le choix entre deux possibilités : soit un taux d’intérêt simple mensuel de \(0,8\%,\) soit un taux d’intérêt composé de \(0,7\%\) par mois. Or, elle souhaite s’acheter une sculpture contemporaine réalisée par un artiste de renom, « La plus belle suite arithmétique du palace ». Elle coûte 12 000 €. Déterminer au bout de combien de temps elle peut réunir cette somme dans les deux cas. Elle choisira évidemment le placement qui permet de l’obtenir le plus rapidement. Lequel est-ce ?
Exercice 2
Soit la suite \((u_n)\) représentée graphiquement ci-dessous.
Quel type de croissance semble la caractériser ? Dire laquelle de ces trois affirmations semble la bonne :
1- C’est une suite arithmétique de raison -20
2- C’est une suite géométrique de raison 0,8
3- C’est une suite géométrique de raison 1,2.
Corrigé 1
Premier placement : des intérêts simples sont uniquement déterminés par le capital de départ. Comme le taux est de \(0,8\%,\) madame Trucmuche reçoit chaque mois 80 €. Sa cagnotte peut donc être modélisée par une suite arithmétique \((u_n)\) de premier terme \(u_0 = 10000\) et de raison \(r = 80.\)
Le énième terme de la suite est donc égal à \(10000 + 80n.\) D’où l’inéquation :
\(10000 + 80n \geqslant 12000\)
\(⇔ n \geqslant 25\)
C’est au vingt-cinquième mois que madame Trucmuche disposera de la somme voulue.
Second placement : un taux d’intérêt composé se caractérise par des intérêts versés qui produisent eux-mêmes des intérêts. Chaque montant est donc égal au précédent majoré par un coefficient multiplicateur. C’est une suite géométrique qui modélise cette situation. Nommons-la \((v_n).\) En l’occurrence, \(v_0 = 10000\) et \(q = 1,007.\) Donc \(v_n = 10000 × 1,007^n.\)
\(10000 \times 1,007^n \geqslant 12000\)
\(⇔ 1,007^n \geqslant 1,2\)
En classe de première, l’étude des logarithmes n'a pas encore été abordée. C’est donc en listant les valeurs de la suite avec l’aide précieuse de la calculatrice que ce type d’inéquation peut être résolu. Voyons comment s’y prendre avec une TI-83 Premium CE. Nous en profiterons pour vérifier le résultat précédent.
Il faut d’abord que la calculatrice soit en mode suite. Donc, touche mode puis à la cinquième ligne du menu choisir SUITE.
Ensuite touche f(x) en haut à gauche. Première ligne à l’écran : la calculatrice demande nMin= et on indique 0 puisque le premier terme est \(u_0.\) Puis on définit les suites par récurrence. n est obtenu par la même touche que x et les lettres u et v avec la touche 2nd puis les touches numériques (7 et 8).
La valeur du premier terme doit être indiquée, en l’occurrence 10000. L’écran doit donc ressembler à ceci :
On peut définir ensuite la table (touches 2nd puis fenêtre) mais ici, les paramètres par défaut nous conviennent et l'étape est inutile. Puis afficher la table avec touches 2nd et graphe. Faire défiler. Les valeurs intéressantes figurent ci-dessous.
Sur cette fenêtre on retrouve le résultat de la suite arithmétique, et comble de bonheur en compagnie de celui de la suite géométrique : il faut attendre le vingt-septième mois pour que la somme de 12 000 € soit dépassée. Madame Trucmuche choisit donc la première formule.
Note 1 : la seconde formule fait l'objet de l'exercice de la page sur les listes avec Python.
Note 2 : pour obtenir une liste de termes avec une calculatrice Casio, voir l'exercice sur la croissance exponentielle.
Corrigé 2
La courbure de la tendance de \((u_n)\) semble indiquer une décroissance exponentielle. Apparemment, la suite est convergente.
Comme l’évolution n’est pas linéaire, il ne s’agit pas d’une suite arithmétique. Il nous reste le choix entre deux suites géométriques. Il se trouve que la suite est décroissante, donc sa raison est comprise entre 0 et 1. La réponse 2 est la bonne.
