Croissance exponentielle et suites avec Casio
Il est fréquent d’entendre parler de croissance exponentielle dans les domaines les plus variés. Comme nous allons le voir, il s’agit de décrire des phénomènes qui suivent une progression géométrique.
Cette page s’adresse aux élèves de première générale mais si vous êtes en filière technologique et que vous possédez une calculatrice Casio ne fuyez pas ! Les questions 1 et 2 de l’exercice peuvent vous être très utiles !
Fonction exponentielle et suite géométrique
Une fonction exponentielle de base \(e\) s’écrit \(f(x) = ae^{kx}\) avec \(a\) et \(k\) réels. Selon les valeurs de \(a\) et de \(k\) la fonction est croissante ou décroissante.
Le terme général d'une suite géométrique s’écrit \(u_n = u_0 × q^n,\) avec \(q ∈ \mathbb{R}\) (c’est la raison).
On fait aisément le lien entre ces deux écritures : \(a\) correspond à \(u_0\) et la raison à \(e^k,\) à condition toutefois qu’elle soit positive, ce qui est le cas lorsqu’on modélise des phénomènes observables.
Donc, pour toute raison positive \(q\) il existe un réel \(k\) tel que \(e^k = q.\)
Exemple
Montrons que la suite \((u_n)\) définie pour \(n ∈ \mathbb{N}\) par \(u_n = e^{\frac{n}{4}}\) est géométrique.
\(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{e^{\frac{n+1}{4}}}{e^{\frac{n}{4}}}\)
\(⇔ \frac{u_{n+1}}{u_n} = e^{\frac{n+1}{4}} × e^{-\frac{n}{4}}\)
\(⇔ \frac{u_{n+1}}{u_n} = e^{\frac{n+1-n}{4}} = e^{\frac{1}{4}}\)
Le résultat du quotient est un réel, donc \((u_n)\) est géométrique.
Exercice
Dans une forêt, la population de capricornes augmente de \(4\%\) par an. Pour l’année 0 on évalue cette population à 5000.
- On modélise cette évolution par une suite \((u_n).\) Déterminer la nature de \((u_n)\) et son terme général.
- Calculer les valeurs prises par cette suite de \(u_0\) à \(u_{20}\) et les représenter graphiquement avec la calculatrice.
- Donner une expression de \(u_{n+1} - u_n.\)
- Dans un modèle continu, l’écart entre \(u_{n+1}\) et \(u_n\) serait l’expression d’une dérivée d’une fonction \(f.\) En déduire l’expression de \(f’\) en fonction de \(f.\)
- Déterminer l’expression de \(f(x).\)
- Quelle devrait être la population de capricornes pour l’année 20 ? Est-ce cohérent avec le calcul de \(f(20)\) ?
Corrigé
1- Une augmentation de \(4\%\) se traduit par un coefficient multiplicateur de 1,04. Ainsi la suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q = 1,04\) et de premier terme \(u_0 = 5000.\)
Terme général : \(u_n = 5000 × 1,04^n\)
2- Nous utiliserons une calculatrice graphique Casio.
Dans le menu, sélectionnez RECUR. Ce peut être le choix 6 (GRAPH 35+) ou le choix 8 (GRAPH 85). Une fenêtre apparaît. Par défaut, elle propose une définition par récurrence, ce qui nous convient parfaitement. Si nous devions travailler sur une suite définie de façon explicite il faudrait taper sur la touche F3 puis choisir an.
Pour l’instant notre calculatrice nous propose an+1 (avec Casio les suites se nomment \((a_n)\) et non \((u_n).\) Renseignons son expression (an s’obtient avec F2).
Il faut ensuite définir la table touche par F5 pour obtenir la fenêtre Table Setting et renseigner les paramètres.
Revenir (touche EXE) puis obtenir la table avec F6.
Attention, la calculatrice ne respecte pas les règles usuelles d’arrondis (ici, arrondis par défaut).
Pour la représentation de la suite, il faut d’abord paramétrer la fenêtre. Pour ne pas écraser la figure, nous ne démarrerons pas les ordonnées à 0 mais à 5000 pour les arrêter à 11000 (information donnée par la table obtenue ci-dessus). Donc SHIFT et F3. Pour les valeurs des abscisses, nous nous situons entre 0 et 20.
Touche EXIT, à nouveau TABL (avec F6) et G-PLT (encore F6).
3 - \(u_{n+1} - u_n\)
\(=\) \(5000 × 1,04^{n+1} – 5000 × 1,04^n\)
\(= 5000 × 1,04(1,04 – 1)\)
\(= 0,04u_n\)
4- De la question précédente nous en déduisons que \(f’ = 0,04f.\)
5- Faisons le lien entre fonction exponentielle et suite géométrique : \(f(x) = 5000 × e^{kx}\)
Selon la formule de la dérivée d’une fonction exponentielle, \(f’(x) = 5000k × e^{kx}.\) Donc d’après la question précédente \(k = 0,04.\) Ainsi \(f(x) = 5000 × e^{0,04x}\)
6- \(u_{20} = 5000 × 1,04^{20} ≈ 10956.\) Or \(f(20) ≈ 11128.\) La différence est faible, même pas \(2\%.\)
Toutefois, le résultat n’est pas le même. En fait, c’est la valeur de \(k\) qui est inexacte (vous pourrez trouver la vraie valeur en classe de terminale après avoir étudié les logarithmes). La légère erreur provient de la définition de la dérivée : nous avons admis qu’elle était définie par un accroissement sur un an ; mais cette approximation est grossière puisqu’une dérivée mesure un accroissement infinitésimal.
