Alignement de trois points dans le plan
Les démonstrations d’alignement de trois points dans le plan font partie du programme de seconde. Après un bref mais néanmoins nostalgique rappel de cours vous trouverez des exercices d’application. Ceux-ci se situent au niveau d’une première générale. Comme ils sont assez classiques, ils ne devraient pas s’avérer trop douloureux.
Rappels du cours de seconde
1- Géométriquement (et même intuitivement), trois points sont alignés s’ils se situent sur une même droite.
2- En termes de vecteurs, les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) (ou \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CB}\), ce qui revient au même) sont colinéaires. En effet, deux vecteurs colinéaires ayant un point commun sont les vecteurs directeurs d’une même droite.
3- De façon analytique, on utilise les coordonnées des vecteurs ayant un point commun. Soit les vecteurs \(\overrightarrow {AB}(x\,;y)\) et \(\overrightarrow {AC}(x' \,;y')\). \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés si et seulement si \(xy’ – yx’=0\)
L'exercice 1 de la page colinéarité porte sur l'alignement. Il est du niveau d'une classe de seconde. Les exercices suivants sont d'un niveau de première.
Exercice 1
Trois points se sentent perdus dans un plan mais nous les avons repérés : \(A(-12\,;-7)\), \(B(14\,;-6)\), et \(C(16\,;-3)\). Deux questions nous taraudent :
\(1- A\), \(B\) et \(C\) sont-ils alignés ?
2- Soit \(D\)(\(a\,;-2)\). Déterminer \(a\) pour que \(A\), \(B\) et \(D\) soient alignés.
Exercice 2
Soit un triangle \(ABC\) dans un plan repéré. Les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont définis par :
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {AE} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \\
\overrightarrow {FA} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BA} \\
\overrightarrow {BC} = 8\overrightarrow {GB}
\end{array}\]
Montrer que \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés (indication : exprimer le vecteur \(\overrightarrow{EG}\) en fonction de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\)).
Exercice 3
Soit les points \(A(14\,;-5)\), \(B(5\,;4)\) et \(C(2\,;7)\).
1- Déterminer une équation cartésienne de la droite (\(d\)) qui passe par les points \(A\) et \(B\).
2- \(A\), \(B\) et \(C\) sont-ils alignés ?
Corrigé 1
1- Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ont pour coordonnées respectives dans un repère :
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{14 + 12 = 26}\\
{ - 6 + 7 = 1}
\end{array}} \right)\\
\overrightarrow {AC} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{16 + 12 = 28}\\
{ - 3 + 7 = 4}
\end{array}} \right)
\end{array}\]
Or, \((26 \times 4) - (1 \times 28)=76\), ce qui n’a rien à voir avec 0. Donc, \(A\), \(B\) et \(C\) n’ont pas le privilège d’être alignés.
2-
\(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{26}\\
1
\end{array}} \right)\) et
\(\overrightarrow {AD} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{a + 12}\\
{ - 2 + 7 = 5}
\end{array}} \right)\)
Pour que les points \(A\), \(B\) et \(D\) soient alignés, il faut que \((26\times 5)-(a + 12) = 0\), donc \(130 - a - 12 = 0\). Conclusion : \(a = 118\).
Corrigé 2
Cet exercice illustre la décomposition d'un vecteur dans le plan. Pour s’y retrouver, il peut être utile de tracer la figure (ci-dessous avec GeoGebra).
L'énoncé nous invite à exprimer le vecteur \(\overrightarrow{EG}\) en fonction des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Il faut utiliser la relation de Chasles et faire apparaître les relations définies dans l’énoncé. Ainsi, \(\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AG}\). Or, comme \(\overrightarrow{EA}\) est directement défini par \(\overrightarrow{AC}\) nous pouvons écrire \(\overrightarrow{EG}= -¼ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AG}\).
À présent il nous faut sans tarder faire apparaître \(\overrightarrow{AB}\). Soit \(\overrightarrow{EG}=-¼\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}\). Pas mal. Mais nous devons nous débarrasser de \(\overrightarrow{BG}\). Or, \(8\overrightarrow{BG}=-\overrightarrow{BC}\). Cette fois, nous sommes encombrés de \(\overrightarrow{BC}\) mais il peut s’effacer pour nous laisser \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{AC}\). Si vous avez suivi, vous êtes d'accord avec ceci :
\[\begin{array}{l}
\overrightarrow {EG} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} - \frac{1}{8}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {EG} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} + \frac{1}{8}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{8}\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {EG} = - \frac{3}{8}\overrightarrow {AC} + \frac{9}{8}\overrightarrow {AB}
\end{array}\]
Démontrons à présent l’alignement. Deux remarques : nous n’avons pas encore utilisé l’information \(\overrightarrow {FA}=¾\overrightarrow {BA}\) et nous devons montrer une colinéarité entre \(\overrightarrow {EG}\) et \(\overrightarrow {EF}\).
Comme \(\overrightarrow {EG}\) est exprimé en fonction de \(\overrightarrow {AC}\) et \(\overrightarrow {AB}\), il faut en faire de même de \(\overrightarrow {EF}\). Donc \(\overrightarrow {EF}=\overrightarrow {EA}+\overrightarrow {AF}\). Traduction : \(\overrightarrow {EF} = - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} + \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} \)
Et là, victoire. Inutile d’observer ces deux vecteurs pendant des heures pour s’apercevoir que \(\overrightarrow {EG} = \frac{3}{2}\overrightarrow {EF} \).
Ces deux vecteurs sont colinéaires (l’un est exprimé en fonction de l’autre) et ils ont le point \(E\) en commun. Nous avons prouvé que \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.
Corrigé 3
1- L’équation cartésienne est de type \(ax + by + c = 0\). À partir des coordonnées de \(A\) et de \(B\) on détermine le vecteur directeur \(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{5 - 14 = - 9}\\
{4 + 5 = 9}
\end{array}} \right)\)
Soit \(b = 9\) et \(a = 9\). Au point \(A\), l’équation devient \((9 \times 14) + (9 \times -5) + c = 0\) d’où \(c=-81\)
Une équation de (\(d\)) est \(9x + 9y - 81 = 0\) ou, si l’on divise par 9, \(x + y - 9 = 0\)
2- L'égalité est-elle exacte en utilisant les coordonnées de \(C\) ? Oui car \(2 + 7 - 9 = 0.\)
Nous en concluons que \(C\) se situe sur (\(d\))\( \) et donc que \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
