Équation cartésienne d'une droite dans le plan
L’équation cartésienne d’une droite fait partie du programme de seconde. À l'occasion d'un exercice, vous pourrez même l'utiliser pour réactiver ce que vous savez sur les vecteurs et la colinéarité, voire en révisant les fonctions affines, montrant ainsi un lien entre l'analyse et la géométrie.
Présentation
Bref. Si une droite du plan admet une équation réduite, de type \(y = ax + b,\) elle admet aussi des équations dites cartésiennes de type \(αx + βy + δ = 0.\)
Alors qu’une droite ne peut être définie que par une seule équation réduite, il existe une infinité d’équations cartésiennes. Il est évident que si l’on multiplie \(α,\) \(β\) et \(δ\) par un même réel, l’égalité reste vraie puisque le second membre est nul.
Théorème réciproque, l’ensemble des points \(M(x\,;y)\) vérifiant l’équation \(αx + βy + δ\) \(=\) \(0\) est une droite. Important : l'un de ses vecteurs directeurs est \(\overrightarrow {u} (-β\,; α).\) Il s’ensuit que deux droites d’équations \(αx + βy + δ\) \(=\) \(0\) et \(α’x + β’y + δ’\) \(=\) \(0\) ne sont parallèles que si \(αβ’ - α’β = 0.\)
Pour obtenir une équation réduite à partir d’une cartésienne : \(y = -\frac{\alpha}{\beta}x - \frac{\delta}{\beta}\)
Il est clair que si \(β = 0\) il n’est pas possible d’obtenir une équation réduite. Graphiquement, la représentation d’une équation de type \(αx + δ = 0\) est une droite verticale. Si \(α = 0\) nous obtenons l’équation d’une fonction constante (droite horizontale), si \(δ = 0,\) la droite peut représenter une fonction linéaire et si aucune des trois valeurs n’est nulle, une fonction affine.
Représentation graphique
Soit la droite \((d)\) d’équation \(-x + 2y + 3\) \(=\) \(0.\) En l’absence d’outil informatique, comment la représenter ?
Deux techniques. La première consiste à la transformer en équation réduite. \(2y = x - 3,\) d’où \(y = 0,5x - 1,5.\) Cette forme plus habituelle permet un tracé facile. La seconde technique consiste à remplacer successivement \(x\) et \(y\) par 0 pour déterminer en quels points les axes seront traversés. Si \(x = 0\) (axe des ordonnées) alors \(y = -1,5\) et si \(y = 0\) alors \(x = 3.\) Dès lors, il suffit de tracer une droite qui passe par ces deux points. Sur GeoGebra, on entre directement l’équation cartésienne. Évidemment, c'est plus simple !
Équation cartésienne et vecteur directeur
Réciproquement, comment déterminer une équation cartésienne à partir d’une représentation graphique ? Là aussi, on peut passer par la formule de l’équation réduite. Mais il est également possible d’utiliser un vecteur directeur.
La droite ci-dessus passe par les points de coordonnées \((0\,; -1,5)\) et \((3\,;0).\) D’où le vecteur directeur \(\overrightarrow {u} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ {1,5} \end{array}} \right).\)
Prenons \(β = -3\) et \(α = 1,5.\) Donc, \(1,5x - 3y + δ\) \(=\) \(0.\) Pour trouver \(δ,\) choisissons l’un des points de la droite et indiquons ses coordonnées dans l’équation.
\((1,5 × 0) - (3 × (-1,5)) + δ\) \(=\) \(0,\) donc \(δ = -4,5\)
\(1,5x - 3y - 4,5 = 0.\) Or, la droite avait été tracée à partir de l’équation \(-x + 2y + 3\) \(=\) \(0.\) Il suffit de multiplier cette dernière par \(-1,5\) pour retomber sur nos pattes et nous réjouir de la justesse des calculs.
Pour vous échauffer avant l'exercice ci-dessous, vous pouvez commencer par faire l’exercice 3 de la page alignement de points.
Exercice
Soit les points \(A(3\,; 1)\) et \(B((2\,; -1)\) appartenant à la droite \((d).\) Sa consœur \((d’)\) passe quant à elle par l’origine et l’un de ses vecteurs directeurs est \(\overrightarrow {u} (1\,;2).\)
1- Déterminer un vecteur directeur de \((d).\) Comment est située \((d)\) par rapport à \((d’)\) ? Donner une équation cartésienne de chacune de ces deux droites.
2- Montrer que la droite \((d’’)\) qui passe par le point de coordonnées \((-1\,;-1)\) et dont un vecteur directeur est \(\overrightarrow {v} (3\,;1)\) est sécante à \((d)\) et à \((d’).\) Déterminer en quels points ces droites sont sécantes.
3- Tracer les droites.
Corrigé
1- Un vecteur directeur de \((d)\) est \(\overrightarrow {AB} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 - 3 = - 1}\\
{ - 1 - 2 = - 2}
\end{array}} \right)\)
Nous constatons que \(\overrightarrow {AB} = (-1) × \overrightarrow{u}.\) Donc ces deux vecteurs sont colinéaires et les droites \((d)\) et \((d’)\) sont soit parallèles soit confondues. Déterminons l’équation réduite de \((d).\) Passons le calcul, son coefficient directeur est égal à 2 et l’ordonnée à l’origine est \(1 - (2 × 3) = -5.\) Donc nos droites sont parallèles et \((d)\) est au-dessous de \((d’)\) (dont l’ordonnée à l’origine est 0).
Équation cartésienne de \((d)\) : un vecteur directeur a pour coordonnées \((1\,; 2).\) L’équation est du type \(2x - y + δ\) \(=\) \(0.\) Remplaçons \(x\) et \(y\) par les coordonnées de \(A\) : \((2 × 3) - 1 + δ\) \(=\) \(0,\) donc \(δ = -5.\)
Pour \((d’),\) nous partons d’un modèle \(2x - y + δ’\) \(=\) \(0\) et comme nous pouvons remplacer \(x\) et \(y\) par 0 (la droite passe par l’origine), il est limpide que \(δ’ = 0.\)
Récapitulons. \((d)\) : \(2x - y - 5 = 0\) et \((d’)\) : \(2x - y = 0.\)
2- Le vecteur directeur de \((d’’)\) n’étant pas égal à \(k\) fois le vecteur \(\overrightarrow{u},\) il est évident que \((d’’)\) n’est pas parallèle aux autres et donc qu’elle leur est sécante.
\((d’’)\) : \(x - 3y + δ’’\) \(=\) \(0,\) d’où \(-1 + 3 + δ’’\) \(=\) \(0,\) donc \(δ’’ = -2.\) Il s’ensuit que \(x - 3y - 2\) \(=\) \(0\)
Les coordonnées des points d’intersections s’obtiennent facilement à l’aide de systèmes de deux équations à deux inconnues.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x - y = 5}\\
{x - 3y = 2}
\end{array}} \right.\) et \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x - y = 0}\\
{x - 3y = 2}
\end{array}} \right.\)
Nous vous laissons le soin de trouver \((2,6 \,;0,2)\) comme coordonnées de l’intersection entre \((d)\) et \((d’)\) tandis que \((d’)\) et \((d’’)\) se croisent en \((-0,4\,; -0,2).\)
3- Ces points se vérifient sur ce graphe, réalisé grâce à GeoGebra :
Autre exercice : voir l'équation cartésienne d'une droite paramétrée.
