Exercices d'équations avec exp
Vous êtes en classe de première et vous avez choisi l’option maths. Bravo, choix judicieux. Comme ce site vous propose de nombreuses ressources, vous l’avez placé dans votre barre de favoris. Bravissimo, excellente idée. Et là, vous en êtes aux équations avec exponentielles. Que faire ? Vous entraîner ici !
On supposera que vous avez déjà lu la page sur la fonction exponentielle (théorie et astuce pour résoudre les équations).
Après avoir brillamment réalisé les exercices qui suivent, vous pourrez attaquez les inéquations avec exponentielle.
Énoncés
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.
A- \({e^{3x - 4}} = e\)
B- \({e^{2x - 7}} = \frac{1}{e}\)
C- \(\exp(x^2-10) = e^{-3x}\)
D- \(e^x = e \times e^{-2x+1}\)
E- \({e^{x - 2}} = {\left( {{e^{x + 2}}} \right)^5}\)
F- \(4e^x + e^{-x} = 3\) (si vous maîtrisez le changement de variable).
Corrigé A
Il faut penser que \(e = e^1\)
\({e^{3x - 4}} = e^1\)
La fonction exponentielle étant strictement croissante, nous pouvons écrire :
\(3x - 4 = 1\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{5}{3}\)
\(S = \{\frac{5}{3}\}\)
Corrigé B
Ici, il faut se souvenir que \(\frac{1}{e} = e^{-1}\). Ainsi, nous pouvons bien exprimer les deux membres de l'équation comme deux exponentielles.
\({e^{2x - 7}} = e^{-1}\)
\( \Leftrightarrow 2x - 7 = -1\)
\( \Leftrightarrow x = 3\)
\(S = \{3\}\)
Corrigé C
Cette fois, nous avons directement les deux membres sous forme d'exponentielles. Nous pouvons donc écrire :
\(x^2 - 10 = -3x\)
Nous devons résoudre une équation du second degré.
\(x^2 + 3x - 10 = 0\)
Le calcul du discriminant conduit à 49 (formule \(b^2 - 4ac\) avec \(a = 1,\) \(b = 3\) et \(c = -10.\)) Il est positif, l'équation admet donc deux solutions.
\({x_1} = \frac{{ - 3 - \sqrt {49} }}{2} = - 5\) et \({x_2} = \frac{{ - 3 + \sqrt {49} }}{2} = 2\)
\(S = \{-5\,; 2\}\)
Corrigé D
Comment réduire le second membre à une seule exponentielle ? Nous savons que \(e^a \times e^b = e{a + b}.\) Donc \(e^1 \times e^{-2x+1} = e^{-2x+2}.\)
\(x = -2x + 2\)
\( \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}\)
\(S = \{\frac{2}{3}\}\)
Corrigé E
Comme toujours, c'est le début de l'exercice qui peut poser problème. Il faut penser que \(e^{nx} = {\left( {{e^x}} \right)^n}\). Donc, \({\left( {{e^{x + 2}}} \right)^5} = {e^{5x + 10}}.\)
\(e^{x - 2} = e^{5x + 10}\)
\( \Leftrightarrow x - 2 = 5x + 10\)
\( \Leftrightarrow -4x = 12\)
\( \Leftrightarrow x = -3\)
\(S = \{-3\}\)
Corrigé F
Ce cas est un peu plus difficile que les autres. Les astuces que nous avons vues ne peuvent pas s'appliquer et il faut recourir au changement de variable. On pose \(X = e^x\) ce qui permet d'écrire \(e^{-x} = \frac{1}{e^x} = \frac{1}{X}.\)
L'exponentielle étant strictement positive, \(X > 0.\)
L'équation devient :
\(4X + \frac{1}{X} = 3\)
\( \Leftrightarrow 4X - \frac{1}{X} - 3 = 0\)
Multiplions les deux membres par \(X.\)
\(4X^2 - 1 - 3X = 0\)
Le discriminant \(\Delta\) est égal à \((-3)^2 - 4 \times 4 \times (-1) = 25.\) Comme \(\Delta > 0,\) l'équation admet deux solutions.
\({X_1} = \frac{{ - ( - 3) - \sqrt {25} }}{{2 \times 4}} = - \frac{1}{4}\)
Cette première solution ne peut être retenue puisque \(X > 0.\)
\({X_2} = \frac{{ - ( - 3) + \sqrt {25} }}{{2 \times 4}} = 1\)
Par conséquent, \(e^x = 1\) et donc \(x = 0.\)
\(S= \{0\}\)
