Propriétés d'une v.a. transformée
Les élèves de terminale générale (maths de spécialité) trouveront ci-dessous une aide à la compréhension d’un point de leur programme, en l'ocurrence la transformation d’une variable aléatoire (v.a.) en une autre, plus pratique à utiliser, ainsi que des démonstrations.
Espérance et dispersion
Soit la v.a. définie par \(Y = aX + b\) (\(a\) et \(b\) étant des réels).
Pour commencer, une propriété de l’espérance : \(E(Y) = aE(X) + b\) (développée en page de propriétés de l'espérance).
Inutile d’être un mathématicien chevronné pour le démontrer. Soit la loi de probabilité suivante :
| \(x_i\) | \(x_1\) | ... | \(x_i\) | ... | \(x_n\) |
| \(P(X=x_i)\) | \(p_1\) | ... | \(p_i\) | ... | \(p_n\) |
Ainsi...
\(E(Y)\) \(=\) \(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}p_i(ax+b)}\) \(=\) \(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(ap_ix_i+bp_i)}\)
Il est dès lors limpide que…
\(E(Y)\) \(=\) \(\displaystyle{a\sum_{i=1}^{n}p_ix_i + b\sum_{i=1}^{n}p_i}\)
Par définition, le premier terme n’est autre que l’espérance multipliée par \(a.\) Par ailleurs, la somme de toutes les probabilités est égale à 1.
Par conséquent, nous avons bien \(E(Y) = aE(x) + b\)
Quid de la variance ?
\(V(Y) = a^2V(X)\)
Démonstration.
\(V(Y)\) \(=\) \(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}p_i(y_i - E(Y))^2}\) \(=\) \(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}p_i[ax_i + b - (aE(X)+b)]^2}\)
Une simplification s’impose.
\(V(Y)\) \(=\) \(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}p_i(ax_i - aE(X))^2}\)
\(V(Y)\) \(=\) \(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}p_i[a(x_i - E(X))]^2}\) \(=\) \(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}p_ia^2(x_i-E(X))^2}\)
Faisons apparaître l’expression de la variance.
\(V(Y)\) \(=\) \(\displaystyle{a^2 \sum_{i=1}^{n}p_i(x_i - E(X))^2}\) \(=\) \(a^2V(X)\)
Du coup, la transformation de l’écart-type est évidente : \(\sigma(Y) =|a|\sigma(X)\)
Exemple
Dans un atelier sont produites des portes d’intérieur. Leur hauteur est théoriquement de 204 cm. Hélas, la perfection n’est pas de ce monde et il existe une légère imprécision sur cette mesure. Selon le contrôle opéré par le responsable de la qualité, la hauteur des portes est une variable aléatoire qui obéit à la loi de probabilité suivante :
| \(x_i\) | 203,8 | 203,9 | 204,0 | 204,1 | 204,2 |
| \(P(X=x_i)\) | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,1 |
Étudions la v.a. \(Y = 10X - 2040\)
| \(x_i\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| \(P(X=x_i)\) | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,1 | 0,1 |
D’abord, l’espérance…
\(E(Y)\) \(=\) \(-0,2 - 0,3 + 0,1 + 0,2\) \(=\) \(-0,2\)
Donc \(E(X)\) \(=\) \(-\frac{0,2}{10} + 2040\) \(=\) \(203,98\)
Il est d’ailleurs rapide de vérifier ce résultat à la calculatrice en utilisant directement la v.a. \(X\) (mode d’emploi avec la TI-82 en page série statistique).
Et la variance dans tout ça ?
\(V(Y)\) \(=\) \(0,1(-2 + 0,2)^2\) \(+\) \(0,3(-1 + 0,2)^2\) \(+\) \(0,4(0 + 0,2)^2\) \(+\) \(0,1(1 1 + 0,2)^2\) \(+\) \(0,1(2 + 0,2)^2\) \(=\) \(1,16\)
Donc \(V(X) \frac{1,16}{10^2} = 0,0116\)
Là encore, il est facile de vérifier et même plus rapide de calculer directement \(V(X)\) avec la calculatrice. L’écart-type est environ égal à 0,1077032961. Vous nous pardonnerez cette approximation due à la taille limitée de l’écran de la TI-82.
On trouve l’écart-type avec la calculatrice mais on peut aussi le calculer avec la racine carrée de 0,0116 ou encore en passant par l’écart-type de \(Y\) (soit 1,077032961), divisé par la valeur absolue de \(a,\) c’est-à-dire 10.
