L’une des grandes joies de la vie lycéenne est, à n’en pas douter, la rencontre avec les asymptotes, invariablement droites. Mais, lors de la découverte d’un nouveau monde (à savoir les études supérieures), certains horizons s’élargissent. Et même ceux que l’on croyait irrémédiablement plats peuvent désormais s’avérer courbés…

Les courbes asymptotes

Ainsi, une courbe peut elle aussi avoir le privilège, à l’infini, de constituer une asymptote à une autre courbe. Le raisonnement est exactement le même que celui qui sert à détecter une asymptote oblique. Exemple simple :

Il est limpide qu’à l’infini, cette fonction f se confond avec la fonction carré. Sur cette page, les graphes ont été réalisés sur GoeGebra. Ci-dessous, la courbe représentant f est rouge et sa consœur représentant la fonction carré est bleue :

La recherche d’une courbe C’ (représentative de g) asymptote à C (représentative de f) n’a d’intérêt que si l’expression de g est beaucoup plus simple que celle de f.

Un cas typique est celui d’une fonction polynomiale détectée grâce à la magie des développements limités. Dans la mesure du possible, on procède à un changement de variable en posant X = 1 / x puis en appliquant un développement de Mc Laurin (donc une recherche de limite en 0) à f(X).

Branches paraboliques

Un courbe admet une branche parabolique suivant l'axe des ordonnées lorsque...

Elle s'élève alors en direction verticale. Parmi les fonctions usuelles qui se traduisent graphiquement par une telle ascension, on retiendra les fonctions de puissance entière (carré, cube…) et exponentielle. Comme elles sont définies sur l'ensemble des réels, leurs courbes n'admettent évidemment aucune asymptote verticale...

Inversement, si cette limite est nulle, la branche parabolique suit l'axe des abscisses (fonctions logarithme ou racine carrée, par exemple...).

Voici une fonction fort sympathique :

Il est évident que :

Est-il possible d’en savoir davantage ? Certes...

Par conséquent, la courbe représentative de f admet une branche parabolique qui, sur plus l’infini, suit l’axe des ordonnées.

Une branche parabolique peut aussi suivre un axe oblique.

Exemple : la fonction f(x) = ln x + 0,5 x. Sur plus l’infini, la courbe admet une branche parabolique qui suit la fonction affine (droite) d’équation y = 0,5 x.

Autres comportements asymptotiques

Ci-dessous, la représentation de la fonction f(x) = x + cos x montre un autre type de comportement asymptotique.