Translations, déformations et combinaisons de courbes
Cette page se situe à deux niveaux d’apprentissage. Pour l'essentiel, elle illustre quelques propriétés des fonctions numériques. Ces dernières figurent au programme de la classe de première. Ensuite, nous prendrons un peu de hauteur, nous situant alors dans les études supérieures et plus précisément, ce qui peut paraître de prime abord comme une erreur de casting, dans un programme d’algèbre.
Graphiquement, une fonction à une variable réelle est représentée dans un plan sous la forme d’une courbe (au sens large puisqu'une fonction affine l'est par une droite). Certaines modifications appliquées à une fonction se traduisent par une simple translation de sa courbe représentative.
Translation verticale
Un glissement vertical se produit si l’on ajoute simplement un nombre à la fonction. Prenons l'exemple d'une fonction polynomiale du second degré \(f: x \mapsto 2x^2 + 4x - 1.\) Sa courbe représentative figure ci-dessous en bleu (réalisation sur GeoGebra). Ajoutons le nombre 3 à l'expression de cette fonction. On en obtient une autre : \(g: x \mapsto 2x^2 + 4x + 2.\) Sa courbe représentative, en rouge, est une simple translation verticale de la courbe bleue.
Translation horizontale
La translation horizontale s’observe au contraire en ajoutant un nombre à \(x,\) chaque fois que celui-ci apparaît dans la fonction. Prenons notre chère \(f\) pour faire glisser sa courbe horizontalement. Il s’ensuit que \(f(x+2)\) \(=\) \(2(x + 2)^2 + 4(x + 2) - 1.\) Comme l'expression n’est pas très élégante, développons l’identité remarquable et simplifions. Nous arrivons à \(f(x+2)\) \(=\) \(2x^2 + 12x + 15.\)
On remarque que si l’on ajoute un nombre positif, le glissement s’opère sur la gauche (et à droite si le nombre est négatif, évidemment).
Translation oblique
Si l’on combine ces deux opérations, la translation est effectuée en biais. Un exemple est illustré en page fonction inverse.
Déformation
Si la fonction est multipliée par un nombre, certaines caractéristiques demeurent et notamment la parité. Mais la courbe est déformée. Notre fonction multipliée par 2 se traduit par la courbe violette.
Dans le cas particulier où ce nombre est -1, la forme de la courbe est la même mais son sens est inversé.
Somme avec une fonction affine
Comme promis, dépassons à présent le programme de première. Pas d’affolement, nous restons dans la simplicité. Il s’agit juste d’illustrer la linéarité des fonctions.
Il est évident que si l’on fait la somme de deux fonctions, on en obtient une troisième. Soit \(h(x) = 2x + 1.\) Sa représentation apparaît ci-dessous en rose. La fonction définie par \(l(x) = f(x) + h(x)\) se traduit pas la courbe orange. Son expression est \(l(x) = 2x^2 + 6x.\)
Cette fonction \(l\) est une combinaison linéaire des deux autres. On peut d’ailleurs multiplier \(f\) et \(h\) par des nombres (scalaires), la fonction obtenue reste une combinaison linéaire. Par exemple, \(u(x) = 2f(x) + 0,5h(x).\)
L’ensemble des combinaisons linéaires qu’il est possible de former avec nos deux fonctions (ou un nombre quelconque de fonctions) forme un espace vectoriel engendré par \(f\) et \(h.\)
Stats
En statistiques, la translation est une opération courante (et souvent indispensable). Il s'agit plus précisément du CENTRAGE qui consiste à retirer des valeurs d'une série leur moyenne. D'où une nouvelle moyenne égale à zéro. Graphiquement, une courbe de Gauss est décalée de façon à ce que son maximum soit situé sur l'axe des ordonnées.
