Produit scalaire : la formule des normes
C’est en classe de première générale ou de première technologique (STI2D ou STL) que l’on découvre les joies du produit scalaire. Une façon d’aborder ce chapitre est de présenter la formule du cosinus. Elle nous amènera à la formule des normes, beaucoup moins utilisée.
Rappel
Hâtons-nous de rappeler cette formule. Soit \(\overrightarrow u\) et \(\overrightarrow v \) deux vecteurs non nuls du plan :
\[\overrightarrow u .\overrightarrow v = \| {\overrightarrow u } \| \times \| {\overrightarrow v } \| \times \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right)\]
Grâce à elle, il est possible de calculer un produit scalaire si l’on connaît les longueurs des deux vecteurs et l’angle qu’ils forment.
En revanche, si l’angle est inconnu, il faut la modifier pour faire disparaître le cosinus et donc utiliser une deuxième formule, présentée sur cette page. Si vous êtes en première, vous rencontrerez certainement des exercices qui permettent de l’appliquer mais ceux-ci ne sont pas très variés et, par conséquent, pas très nombreux.
Démonstration
En premier lieu, considérons le carré scalaire. Il est évident que le cosinus entre un vecteur et lui-même mesure un angle nul. Il est donc égal à 1.
Ainsi, \({\overrightarrow u ^2} = {\| {\overrightarrow u } \|^2}\)
Jusque là rien d'anormal (ensuite non plus d'ailleurs). Considérons maintenant l’identité remarquable \({\left( {\overrightarrow u \pm \overrightarrow v } \right)^2} = {\overrightarrow u ^2} + {\overrightarrow v ^2} \pm 2\overrightarrow u .\overrightarrow v \)
Par conséquent…
\({\| {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \|^2} = {\| {\overrightarrow u } \|^2} + {\| {\overrightarrow v } \|^2} - 2\overrightarrow u .\overrightarrow v \)
\( \Leftrightarrow {\| {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \|^2} - {\| {\overrightarrow u } \|^2} - {\| {\overrightarrow v } \|^2} = - 2\overrightarrow u .\overrightarrow v \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow v = \frac{1}{2}\left( {{{\| {\overrightarrow u } \|}^2} + {{\\| {\overrightarrow v } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \|}^2}} \right)\)
De la même façon, on prouve que \(\overrightarrow u\ . \overrightarrow v \) \( = \frac{1}{2}\left( {{{\| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow u } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow v } \|}^2}} \right)\)
Selon les exercices, il faudra choisir entre la formule qui fait apparaître le carré de la différence de vecteurs ou celle qui fait apparaître le carré de leur somme.
Géométrie
Le produit scalaire est une opération peu intuitive car il est mentalement difficile de faire le lien entre la représentation géométrique et le résultat obtenu par calcul. La formule du cosinus et celle du projeté peuvent toutefois être illustrées. Mais celle des normes est vraiment peu représentable !
\[\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {A{D^2} - A{B^2} - A{C^2}} \right)\]
Une vieille connaissance
Et si les deux vecteurs \(\overrightarrow u\) et \(\overrightarrow v \) sont orthogonaux ? On sait que leur produit scalaire est égal à zéro puisque leur cosinus est nul. Par conséquent :
\(\frac{1}{2}\left( {{{\| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow u } \|}^2} - {{\| {\overrightarrow v } \|}^2}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \|^2} = {\| {\overrightarrow u } \|^2} + {\| {\overrightarrow v } \|^2}\)
On retrouve le théorème de Pythagore !
Exercice 1
Calculer le produit scalaire des deux vecteurs \(\overrightarrow u \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 3 \end{array}} \right)\) et \(\overrightarrow v \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ -1 \end{array}} \right)\)
Note : la résolution de cet exercice suppose que vous n’avez pas encore étudié le produit scalaire en géométrie analytique. Le résultat serait trop facile à trouver !
Exercice 2
Soit un triangle \(ABC.\)
\(AB = 4\), \(AC = 7\) et \(BC = 5\)
Calculer \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} .\)
Corrigé 1
Il faut appliquer la formule de la distance vue en classe de seconde.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\| {\overrightarrow u } \| = \sqrt {1 + 9} = \sqrt {10} }\\ {\| {\overrightarrow v } \| = \sqrt {4 + 1} = \sqrt 5 } \end{array}} \right.\)
\(\| {\overrightarrow u + \overrightarrow v } \| = \sqrt {{{\left( {1 + 2} \right)}^2} + {{\left( {3 - 1} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {13} \)
\(\overrightarrow u .\overrightarrow v = \frac{1}{2}\left( {13 - 10 - 5} \right) = - 1\)
Corrigé 2
En appliquant la relation de Chasles, nous avons \(\overrightarrow {BC} \) \( = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} \) \( = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {CA} \)
Il est donc plus pratique d’utiliser la formule qui fait apparaître le carré de la différence de vecteurs.
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right)\) (c'est d'ailleurs une formule à connaître).
Ainsi, notre produit scalaire est égal à \(\frac{1}{2}(4^2 + 7^2 - 5^2)\) \(=\) \(20.\)
Voir aussi la page d'exercices sur le produit scalaire et la lecture graphique d'un produit scalaire.
