La projection orthogonale d'un vecteur

Orthogonalité et produit scalaire

Cette page s’adresse notamment aux élèves de première générale. Elle explique le mécanisme de la projection orthogonale pour déterminer un produit scalaire dans le plan et montre comment utiliser cette technique. Bien entendu, si vous n’êtes pas en première et si vous mourrez d’envie de comprendre cette belle mécanique, nous vous souhaitons à vous aussi une bonne lecture…

 

Orthogonalité

Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Graphiquement, leurs directions sont orthogonales. Ainsi, deux droites sont orthogonales si et seulement si le produit de leurs vecteurs directeurs est nul.

 

Projection orthogonale

Soit un vecteur \(\overrightarrow {CD} .\) Projetons-le orthogonalement sur la droite \((AB),\) support du vecteur \(\overrightarrow {AB}.\) Le projeté est le vecteur \(\overrightarrow {C'D'}\) tel que les vecteurs \(\overrightarrow {CC'}\) et \(\overrightarrow {DD'}\) forment des angles droits avec \((AB).\)

projection

Quant aux vecteurs \(\overrightarrow {CC'}\) et \(\overrightarrow {DD'}\) ils sont tous deux orthogonaux à \(\overrightarrow {AB}\) puisque leurs directions sont perpendiculaires à celle de \((AB).\)

 

La formule du projeté

Quel rapport avec le produit scalaire ?

On démontre aisément que \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C'D'} \)

Nous obtenons un produit scalaire de deux vecteurs colinéaires, c'est-à-dire une simple multiplication.

Il existe d’autres façons de calculer un produit scalaire, par exemple avec la formule du cosinus ou avec la formule des normes. Face à un énoncé, on choisit celle du projeté lorsqu’on est déjà en présence d’un angle droit y compris, comme ci-dessous, lorsqu’une figure montre un vecteur qui suit une ligne horizontale ou verticale.

Les exemples ci-dessous sont simples. Voir aussi la page de lecture graphique du produit scalaire.

 

Exemple 1

Que vaut le produit scalaire de ces deux vecteurs ? (un carreau vaut 1)

énoncé

Réponse :

corrigé

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v\) \(= \overrightarrow u .\overrightarrow {v'}\) \(= \| {\overrightarrow u } \| \times \| {\overrightarrow {v'} } \|\) \(= 6 \times 8 = 48\)

 

Exemple 2 (vecteurs en sens contraire)

exemple 2

\(\overrightarrow u .\overrightarrow v\) \(= - \| {\overrightarrow u } \| \times \| {\overrightarrow {v'} } \|\) \(= - 6 \times 2 = - 12\)

 

Exercice1

Soit la figure suivante, où les carreaux sont des carrés de côté 1 (par exemple, \(AB = 6\)) :

figure

Calculer les produits scalaires suivants :

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AE} .\overrightarrow {ID} \\ \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {IB} \\ \overrightarrow {BF} .\overrightarrow {CB} \\ \overrightarrow {GD} .\overrightarrow {IE} \end{array}\)

 

Exercice 2

Reprendre l’exercice 1 mais avec \(AB = a\) et \(BD = b.\)

 

Corrigé 1

Les réponses sont respectivement \(3 \times 3 = 9,\) \(-2 \times 2 = -4,\) \(-2 \times 4 = -8\) et \(0\) (vecteurs orthogonaux).

 

Corrigé 2

Respectivement : \(\frac{{{a^2}}}{4},\) \(- \frac{{{b^2}}}{4},\) \(- \frac{{{b^2}}}{2}\) et \(0.\)

 

projection