Fonctions arcsin, arccos et arctan
Coup de projecteur sur trois fonctions usuelles.
Lorsqu’une fonction est bijective (toujours strictement croissante ou décroissante), elle admet une fonction réciproque... dont la réciproque n’est autre que la fonction de départ. Cette page présente les réciproques des fonctions trigonométriques (sinus, cosinus et tangente). Vous rétorquerez que, par définition, des fonctions sinusoïdales n’ont rien de monotone et ne peuvent donc avoir le bonheur de connaître des réciproques. Certes, mais sur des intervalles bien choisis, tout devient possible...
La fonction arc-sinus (arcsin ou sin-1)
C’est la réciproque de la fonction sinus. Comme celle-ci est continue et strictement croissante sur \([-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}]\) et qu’elle prend les valeurs -1 et 1 aux bornes de cet intervalle, \(\arcsin\) est définie sur \([-1\,; 1].\)
Le graphe ci-dessous représente sa courbe représentative (en rouge), la courbe noire étant celle de la fonction sinus. La diagonale est la première bissectrice (fonction identité \(f(x) = x\) qui sert de « miroir » entre la courbe représentative d’une fonction et celle de sa réciproque. La zone qui nous intéresse correspond aux intervalles \([-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}]\) sur les deux axes (réalisation GeoGebra).
La fonction arc-sinus est impaire (puisque la fonction sinus l’est aussi) et elle est dérivable sur \(]-1 \,;1[.\) L'expression de cette dérivée n’a rien de très exotique : \(\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.\)
La loi de l'arc-sinus, ou loi bêta 1 (0,5 ; 0,5), est une loi de probabilités continue assez curieuse puisque sa valeur la plus faible est celle de son espérance. Sa fonction de répartition est définie ainsi :
\[F(x) = \frac{2}{\pi }{\sin ^{ - 1}}\left( {\sqrt x } \right)\]
La fonction arc-cosinus (arccos ou cos-1)
La fonction cosinus est continue et strictement croissante sur \([0 ,\; \pi]\) et elle prend les valeurs -1 et 1 aux bornes de l’intervalle. Le graphe est un peu confus mais si l’on a compris le précédent, il n’a rien d’effrayant…
L’air de famille de sa dérivée avec celle de \(\arcsin\) saute aux yeux : \(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.\)
La fonction arc-tangente (arctan ou tan-1)
La fonction tangente est continue et strictement croissante sur \([-\frac{\pi}{2}\,;\frac{\pi}{2}[.\) Graphiquement, la courbe représentative évolue entre des asymptotes verticales. Donc, \(\arctan\) est définie sur \(\mathbb{R}.\)
La fonction arc-tangente est impaire et strictement croissante. Les valeurs qu’elle prend sont comprises entre \(-\frac{\pi}{2}\) et \(\frac{\pi}{2}.\) Cette fonction est utile pour convertir des coordonnées cartésiennes en coordonnées polaires.
Dérivée : \(\frac{1}{1 + x^2}\)
Développements limités au voisinage de 0 : voir page DL de Mc Laurin.
Propriétés
Par définition, \(\sin(\arcsin( x))\) \(= \cos(\arccos(x))\) \(= \tan(\arctan(x)) = x\)
Les « hybrides » sont plus intéressants. En voici quelques uns :
\(\sin(\arccos(x))\) \(= \cos(\arcsin(x))\) \(= \sqrt{1 - x^2}\) pour \(x \in [-1,\;1].\)
Par ailleurs :
\(\cos(\arctan(x))\) \(= \sin(\arctan(x))\) \(=\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}\)
Pour \(x \in [-1\,;1]\) et \(\ne 0\) :
\(\tan(\arccos(x)) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\)
Enfin, pour \(x \in ]-1\,;1[\) :
\(\tan(\arcsin(x)) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\)
Autre propriété amusante : \(\arctan(1) + \arctan(2) + \arctan(3) = \pi.\)
