Les fonctions hyperboliques directes

Fonctions sh, ch, th et coth

Voici quatre fonctions qualifiées d’usuelles. Nous disons bien « qualifiées de » car elles sont tout de même moins usuelles qu’un balai-brosse ou un grille-pain.

Elles se définissent grâce aux exponentielles.

 

La fonction sinus hyperbolique (sh ou sinh)

Il s’agit d’une fonction impaire, continue et croissante sur \(\mathbb{R}.\)

\[\sinh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}\]

 

La fonction cosinus hyperbolique (ch ou cosh)

Il s’agit d’une fonction paire, continue, convexe et positive.

\[\cosh(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}\]

Ces deux fonctions sont indéfiniment dérivables, l’une étant la dérivée de l’autre…

Par ailleurs, \(\cosh(x) + \sinh(x) = e^x\) et \(\cosh(x) - \sinh(x) = e^{-x}.\) Les formules de trigonométrie circulaire s’appliquent en remplaçant cosinus par \(\cosh\) et sinus par \(i\sinh.\)

Ainsi, \(\cosh^2(x) - \sinh^2(x) = 1.\)

Ci-dessous, la courbe rouge représente \(\sinh\) et la bleue représente \(cosh\) (réalisation sur Sine Qua Non). Comme on le constate, \(sinh(0) = 0\) et \(cosh(0) = 1.\) Note : la courbe bleue n'est pas une parabole mais une chaînette.

sh et ch

Sur Excel, on utilise les fonctions SINH (sinus hyperbolique) et COSH (cosinus hyperbolique).

 

La fonction tangente hyperbolique (th ou tanh)

Comme vous l’aviez deviné, c’est la fonction sh sur la fonction ch. Elle est impaire et strictement croissante. La courbe admet les droites \(y = 1\) et \(y = -1\) comme asymptotes horizontales.

\[\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}\]

Dérivée :

\[\tanh'(x) = \frac{1}{\cosh^2{x}} = 1 - \tanh^2(x)\]

Développement limité de ces trois fonctions au voisinage de 0 : voir page DL de Mc Laurin.

 

La fonction cotangente hyperbolique (coth)

C’est bien sûr l’inverse de la précédente. Impaire et non définie en 0, elle admet les mêmes asymptotes horizontales que son inverse, en plus d’une verticale d’équation \(x = 0.\)

Dérivée :

\[\coth'(x) = -\frac{1}{\sinh^2(x)} = 1 - \coth^2(x)\]

Alors que la dérivée de la fonction tangente hyperbolique est toujours positive, celle de la fonction \(\coth\) est toujours négative.

Ci-dessous, la courbe rouge représente la fonction \(tanh\) et la courbe bleue représente la fonction \(\coth.\)

th et coth

Sur Excel 2007, on se sert de la fonction TANH (tangente hyperbolique). Il suffit de taper 1/TANH(…) pour obtenir la cotangente hyperbolique. On obtient 1 (sans décimale) à partir de TANH(18).

 

Exercice

Simplifier l’expression suivante :

\[\ln\left(\frac{1-\tanh(x)}{1+\tanh(x)}\right)\]

D’abord, on s'assure que l'expression entre parenthèses est bien positive puisque la fonction logarithme n'est définie que sur \(\mathbb{R}_+^*,\) puis on utilise l'égalité \(\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\) pour avoir :

\[\ln\left(\frac{\frac{\cosh(x)-\sinh(x)}{\cosh(x)}}{\frac{\cosh(x)+\sinh(x)}{\cosh(x)}}\right)\]

Éliminons les \(\cosh(x)\) superflus puis remplaçons le numérateur et le dénominateur par les formules vues plus haut. Il reste :

\(\ln\left(\frac{e^{-x}}{e^x}\right) = \ln(e^{-x-x})\) \(= \ln(e^{-2x}) = -2x\)

 

hyperbolique