Détermination d'ensembles de définition
Comme vous le savez, une fonction numérique est définie sur un ensemble, dit « de définition ». Cet ensemble peut être l’ensemble des réels, ou seulement une partie de celui-ci. Pourquoi ? Soit parce que la fonction modélise un problème concret soit en raison d'une impossibilité mathématique.
C’est sur ce second cas de figure que nous vous proposons de vous entraîner.
Le niveau requis est celui d’une terminale générale. C’est aussi un bon entraînement d’été pour les bacheliers qui souhaitent maintenir leurs capacités en ordre de marche avant la rentrée universitaire.
Pour tous les exercices, il vous est demandé de déterminer l’ensemble de définition \(D,\) sous-ensemble de \(\mathbb{R},\) des fonctions dont les expressions sont données ci-dessous. Les corrigés suivent les énoncés.
Exercice 1
\[f(x) = \frac{x + 7}{x^2 - 3x - 10}\]
Exercice 1 bis
\[f_1(x) = \ln\left(\frac{x+7}{x^2-3x-10}\right)\]
Exercice 2
\[g(x) = \sqrt{\frac{2x+4}{2x-4}}\]
Exercice 2 bis
\[g_1(x) = \frac{\sqrt{2x+4}}{\sqrt{2x-4}}\]
Si vous souhaitez des exercices supplémentaires, rendez-vous en page d'exercices sur ensembles de définitions de fonctions avec valeurs absolues.
Corrigé 1
La fonction \(f\) est définie si son dénominateur est non nul. Les valeurs qui annulent un polynôme du second degré sont appelées racines et nécessitent le plus souvent le calcul du discriminant.
On pose donc l’équation : \(x^2 - 3x - 10 = 0\)
Un tel polynôme se présente sous la forme \(ax^2 + bx + c = 0\) avec \(a = 1,\) \(b = -3\) et \(c = -10.\)
Formule du discriminant : \(Δ = b^2 - 4ac\)
Donc, ici, \(Δ\) \(= (-3)^2 - 4(-10)\) \(= 49,\) soit \(7^2.\) Comme \(Δ > 0,\) le polynôme admet deux racines distinctes :
\(x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
En l’occurrence, \(x_1 = \frac{3 - 7}{2},\) soit -2, et \(x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5.\) Par conséquent, \(f\) ne peut pas exister si \(x = -2\) ou si \(x = 5.\)
Conclusion, \(D = \mathbb{R} \backslash \{-2\,;5\}\)
Note: remarquez l’antislash ( \ ) qui se lit « privé de » (pas toujours enseigné dans le secondaire).
Corrigé 1 bis
Ici, le numérateur ne doit pas être nul non plus. Et comme la fonction logarithme n’est définie que pour les nombres strictement positifs, nous nous aiderons d’un tableau de signes, comme on apprend à le faire en classe de seconde.
Nous avons déjà calculé les racines du dénominateur. Rappelons que le signe du polynôme est celui de \(a\) à l’extérieur des racines. Le signe du numérateur est quant à lui particulièrement simple à établir.
Par conséquent, \(D = ]-7\,;-2[ \cup ]6\,;+\infty[.\)
Corrigé 2
La fonction g existe à condition que l’expression sous radical soit positive et que le dénominateur ne soit pas nul. Il faut donc procéder à une étude de signe.
\(2x + 4 > 0\)
\(⇔ x > -2\)
\(2x - 4 > 0\)
\(⇔ x > 2\)
D’où le tableau de signes suivant (réalisé avec Sine qua non) :
\(D = ]-\infty \,; -2] \cup ]2\,;+\infty[\)
Corrigé 2 bis
L’ensemble de définition est plus restrictif puisque le numérateur ET le dénominateur doivent être positifs. Donc, si l’on se réfère au tableau de signes précédent, \(D = ]2\,;+\infty[.\)
