Ensembles de définition et valeurs absolues
Lors de l’étude d’une fonction, il est essentiel de d'abord délimiter son ensemble de définition. Sur ce site, vous pouvez d’ailleurs vous entraîner là-dessus (voir la page d’exercices sur ensembles de définition). Les fonctions avec valeurs absolues n’échappent pas à la règle et il nous a semblé utile de consacrer une page d'exercices à ce sujet. Le niveau de difficulté est celui d’une terminale générale.
Il vous est demandé de déterminer l’ensemble de définition \(D\) des fonctions à variable réelle dont les expressions figurent ci-dessous.
Logiciels utilisés : GeoGebra pour les courbes, Sine Qua Non pour les tableaux de signes.
Exercice 1
\[f(x)= \sqrt{x - |x|}\]
Exercice 2
\[g(x) = \ln (2 - |x|)\]
Exercice 3
\[h(x) = \sqrt{\frac{2 - |x|}{1 - |x|}}\]
Corrigé 1
Pour que \(f\) soit définie, il faut que l’expression sous radical soit positive et donc que \(x\) soit supérieur ou égal à \(|x|.\) Ce n’est pas le cas si \(x < 0.\) Donc \(D = \mathbb{R}_+.\) Notez au passage que si \(x \geqslant 0,\) alors \(x = |x|\) et donc \(f\) est une fonction constante (et nulle) sur \(\mathbb{R}_+.\)
Corrigé 2
Un logarithme n’est défini que pour des valeurs strictement positives.
Étudions le signe de \(2 - |x|.\)
Premier cas : \(x \geqslant 0\)
\(2 - x \geqslant 0\)
\(⇔ x \leqslant 2\)
En l’occurrence \(x < 2\) puisque \(\ln 0\) n’existe pas.
Second cas : \(x \leqslant 0\)
Donc \(|x| = -x\)
\(2 + x \geqslant 0\)
\(⇔ x \geqslant -2\)
Là aussi, -2 ne peut être solution, donc l’inégalité est stricte.
Il s’ensuit que \(D = ]-2\,;2[.\)
Pour information, voici la courbe représentative de \(g,\) de style gothique.
Corrigé 3
Premièrement, le dénominateur doit être non nul. Par conséquent, \(x \ne -1\) et \(x \ne 1.\)
Deuxièmement, l’expression sous radical doit être positive. Examinons deux cas.
Premier cas : \(x \geqslant 0\)
Donc \(|x|= x.\)
Second cas : \(x \leqslant 0\)
Donc \(|x| = -x.\)
Ainsi, \(D = ]-\infty \,; -2[ \cup ]-1 \,;1[ \cup ]2 \,; +\infty[.\)
À titre d'information, la courbe représentative de \(h.\)
