Trois exercices sur les valeurs absolues

Ensembles de définition et valeurs absolues

Lors de l’étude d’une fonction, il est essentiel de d'abord délimiter son ensemble de définition. Sur ce site, vous pouvez d’ailleurs vous entraîner là-dessus (voir la page d’exercices sur ensembles de définition). Les fonctions avec valeurs absolues n’échappent pas à la règle et il nous a semblé utile de consacrer une page d'exercices à ce sujet. Le niveau de difficulté est celui d’une terminale S.

Il vous est demandé de déterminer l’ensemble de définition \(D\) des fonctions à variable réelle dont les expressions figurent ci-dessous.

Logiciels utilisés : Geogebra pour les courbes, SineQuaNon pour les tableaux de signes.

 

Exercice 1

\[f(x)= \sqrt{x - |x|}\]

 

Exercice 2

\[g(x) = \ln (2 - |x|)\]

 

Exercice 3

\[h(x) = \sqrt{\frac{2 - |x|}{1 - |x|}}\]

 

Corrigé 1

Pour que \(f\) soit définie, il faut que l’expression sous radical soit positive et donc que \(x\) soit supérieur ou égal à \(|x|.\) Ce n’est pas le cas si \(x < 0.\) Donc \(D = \mathbb{R}_+.\) Notez au passage que si \(x \geqslant 0,\) alors \(x = |x|\) et donc \(f\) est une fonction constante (et nulle) sur \(\mathbb{R}_+.\)

 

Corrigé 2

Un logarithme n’est défini que pour des valeurs strictement positives.

Étudions le signe de \(2 - |x|.\)

Premier cas : \(x \geqslant 0\)

\(2 - x \geqslant 0\)
\(⇔ x \leqslant 2\)

En l’occurrence \(x < 2\) puisque \(\ln 0\) n’existe pas.

Second cas : \(x \leqslant 0\)

Donc \(|x| = -x\)

\(2 + x \geqslant 0\)
\(⇔ x \geqslant -2\)

Là aussi, -2 ne peut être solution, donc l’inégalité est stricte.

Il s’ensuit que \(D = ]-2\,;2[.\)

Pour information, voici la courbe représentative de \(g,\) de style gothique.

g

 

Corrigé 3

Premièrement, le dénominateur doit être non nul. Par conséquent, \(x \ne -1\) et \(x \ne 1.\)

Deuxièmement, l’expression sous radical doit être positive. Examinons deux cas.

Premier cas : \(x \geqslant 0\)

Donc \(|x|= x.\)

tableau de signes

Second cas : \(x \leqslant 0\)

Donc \(|x| = -x.\)

tableau de signes

Ainsi, \(D = ]-\infty \,; -2[ \cup ]-1 \,;1[ \cup ]2 \,; +\infty[.\)

À titre d'information, la courbe représentative de \(h.\)

h