La densité de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\)
Cette page est consacrée à la densité dans l'ensemble des réels \(\mathbb{R}\), et notamment de \(\mathbb{Q}\), ensemble des rationnels, dans \(\mathbb{R}.\) Ne pas confondre avec les fonctions de densité ! Il s’agit d’une des premières notions vues en cours d’analyse de première année. Le fait que \(\mathbb{Q}\) soit dense dans \(\mathbb{R}\) implique que tout réel, même irrationnel, peut être approché par un rationnel.
Les intervalles
Vous avez découvert les intervalles en classe de seconde. Ajoutons-y un peu de rigueur et de vocabulaire…
Dans le supérieur, on définit les intervalles de façon plus formelle que dans le secondaire. Un intervalle \(I\) est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\) (éventuellement vide ou éventuellement égal à \(\mathbb{R}\)) tel que :
\(\forall a,b \in I,\;\forall x \in \mathbb{R}\;(a \leqslant x \leqslant b \Rightarrow x \in I)\)
Un intervalle ouvert est un intervalle dont les bornes sont exclues. Par exemple \(I = ]a'\,;b'[.\) Mais n’y a-t-il pas une contradiction avec la définition ci-dessus, où les inégalités sont larges ? Non, car si l’on a \(a \leqslant x \leqslant b\) et \(a < a \leqslant x \leqslant b < b''\) nous avons bien \(x \in ]a’,\;b’[.\)
Note : pour des raisons très obscures, les bornes des intervalles sont séparées par un point virgule dans le secondaire et par une virgule dans le supérieur. C'est dans un souci de cohérence que les points virgules sont employés ici.
Vocabulaire : l’intervalle \([a\,;b[\) est semi-ouvert, \(]-\infty\,; a]\) est fermé non borné, \(]a\,;b[\) est ouvert borné, etc.
Si l’intervalle ne comporte qu’une seule valeur, on note ce singleton \({a}.\)
Toute intersection d’intervalles est un intervalle.
Si les bornes d’un intervalle \(I\) sont \(a\) et \(b\) (avec \(a < b\)), alors la longueur de \(I\) est \(b-a\) (que celui-ci soit ouvert ou fermé).
Le centre de \(I\) est \(\frac{{b - a}}{2}\)
Ouverts et voisinages
Une réunion d’intervalles ouverts est un ouvert de \(\mathbb{R}.\) Un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\) est un fermé lorsqu’il est le complémentaire d’un ouvert. Un singleton est un fermé. \(\mathbb{R}\) et \(\emptyset \) sont à la fois des ouverts et des fermés.
Les ensembles des rationnels et des irrationnels ne sont ni des ouverts ni des fermés.
Un voisinage de \(a\) est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\) qui contient un intervalle ouvert qui lui-même contient \(a\). L’ensemble des voisinages de \(a\) est noté \(\mathscr{V} \small{a}\).
Un ouvert est un voisinage de chacun de ses points.
Notez que les ouverts permettent de définir des propriétés globales tandis que les voisinages s’attachent à des propriétés locales.
Densité
\(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}.\) Ceci signifie que tout intervalle ouvert non vide de \(\mathbb{R}\) contient une infinité de rationnels. \(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) (ensemble des irrationnels) est également dense dans \(\mathbb{R}.\)
Démontrons-le.
1- Tout intervalle non vide de \({\mathbb{R}}\) contient un rationnel
Supposons \(a < \frac{p}{q} < b\), avec \(p \in \mathbb{Z}\) et \(\mathbb{Q} \in \mathbb{N}^*.\)
Donc \(qa < p < qb\)
\( \Leftrightarrow qb - qa > 1\)
\( \Leftrightarrow q > \frac{1}{(b-a)}\) (\(q\) existe, d'après la propriété d’Archimède).
Donc \(b-a > \frac{1}{q}\) (\(b-a\) étant positif).
Soit \(p = E(aq)\) (partie entière de \(aq\)).
Donc \(p \leqslant aq < p+1\)
\(\frac{p}{q} \leqslant a < \frac{p}{q} + \frac{1}{q}\)
Comme \(\frac{1}{q} < b-a\), alors \(\frac{p}{q} + \frac{1}{q} < a + (b -a)\)
Donc \(\frac{p}{q} \leqslant a < \frac{p}{q} + \frac{1}{q} < b\)
\(a < \frac{(p+1)}{q} < b\)
Il y a bien un rationnel entre les réels \(a\) et \(b.\)
2- Tout intervalle non vide de \(\mathbb{R}\) contient un irrationnel
Soit \(r\) un irrationnel.
\(a + r < \frac{(p+1)}{q} + r < b + r\)
L’irrationnel \(\frac{(p+1)}{q} + r\) est compris entre deux réels.
3- Tout intervalle non vide de \(\mathbb{R}\) contient une infinité de rationnels et d’irrationnels
Nous avons démontré qu’entre deux réels distincts \(a\) et \(b\) il existait un rationnel et un irrationnel.
Soit \(n\) un entier naturel supérieur à 1. Si l’on partage l’intervalle \(]a,b[\) en \(n\) sous-intervalles, nos démonstrations restent valides pour chacun de ces sous-intervalles.
Par conséquent, tout intervalle non vide de \(\mathbb{R}\) contient \(n\) rationnels et \(n\) irrationnels.
Si l’on considère \(n+1\) sous-intervalles de \(]a\,;b[\), la démonstration se vérifie encore.
Par conséquent, on peut considérer une infinité de sous-intervalles : il existe une infinité de rationnels et d’irrationnels dans n’importe quel intervalle \(]a\,;b[\) de \(\mathbb{R}\), avec \(a < b.\)
On dit que \(\mathbb{Q}\) et \(\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}\) sont denses dans \(\mathbb{R}.\)
Il s’ensuit qu’une partie \(A\) de \(\mathbb{R}\) est dense lorsque, pour tout \(\varepsilon > 0\), \(A \cap \left] {a;b} \right[ \ne 0.\)
En revanche, l’ensemble \(\mathbb{N}\) n’est pas dense.
