Exercice sur fonctions de coût (première générale)
L’exercice proposé ici est typique des problèmes de maths auxquels sont soumis les élèves de première générale. Il peut aussi s'inscrire dans un programme de terminale technologique bien qu'il soit un peu plus difficile que les exercices habituellement donnés dans cette filière (faire plutôt l'exercice avec fonction inverse pour la terminale technologique). Au menu, les dérivées de fonctions polynomiales et l’intersection de courbes représentatives de fonctions. Le tout à la sauce « gestion ».
Énoncé
Une entreprise fabrique de la soupe. Le coût total, exprimé en euros, est donné par la fonction \(C_T.\)
\(C_T(q)\) \(=\) \(0,5q^3 - 5q^2 + 40q + 98\)
\(q\) est la quantité exprimée en hectolitres. L’entreprise peut produire entre 0 et 10 hl de soupe dans la journée.
1. Déterminer les coûts fixes et le coût total induit par une production de 10 hectolitres. Tracer la courbe représentative de la fonction sur l'intervalle \([0\, ; 10]\) et commenter.
2. Sachant que le coût marginal de production est assimilé à la dérivée du coût total, donner l’expression de \(C_m (q),\) fonction de coût marginal. Dresser le tableau de variation de \(C_m (q)\) et commenter.
3. Donner l’expression de \(C_M (q),\) fonction du coût moyen, et montrer que sa dérivée peut s’écrire ainsi :
\[C'_M = \frac{(q-7)(q^2+2q+14)}{q^2}\]
Établir le tableau de variation de cette fonction et déterminer la quantité de soupe à produire pour que le coût moyen soit minimal.
4. Représenter graphiquement les fonctions de coût marginal et de coût moyen.
5. Vérifier par le calcul que le niveau de production pour lequel le coût moyen est égal au coût marginal correspond au coût moyen minimal. Commenter.
Pour vous mettre en appétit, une estampe du musée Carnavalet (Dans d'vieille marmitte on fait d'bonne soupe).
Éléments de correction
Notez que certains commentaires ne seront pas exigibles au programme de maths de première. Ce sont juste des apartés de culture économique.
1. Les coûts fixes sont ceux que l’entreprise supporte même si la production est nulle. Nous avons \(C_T (0) = 98.\) Donc, les coûts fixes sont de 98 euros.
Le coût total qui correspond à la production maximale est donné par \(C_T (10).\)
\(C_T (10)\) \(=\) \((0,5 × 10^3) - (5 × 10^2) + (40 × 10) + 98\) \(=\) \(498.\) Il coûte 498 euros de produire 10 hl de soupe.
Ci-dessous, la courbe a été réalisée avec GeoGebra.
Nous remarquons que la fonction \(C_T\) est strictement croissante sur son ensemble de définition, ce qui est logique dans la mesure où les coûts s’accroissent avec la production. La configuration de la courbe est typique d’une évolution de coûts en milieu industriel : on remarque l’importance des coûts fixes, un accroissement sensible dès les premiers produits fabriqués, puis une augmentation moins marquée qui coïncide avec une plage de production « normale » et enfin une sorte de surchauffe lorsque les capacités productives commencent à être saturées.
2. Nous avons \(C_m (q)\) \(=\) \(C'_T (q)\) \(=\) \(1,5 q^2 - 10 q + 40\)
Le discriminant est égal à \(100 - 240 = -140.\) Comme il est négatif, le signe du trinôme est celui du coefficient du carré, donc positif puisque 1,5 est positif. Cette remarque corrobore l’observation précédente, à savoir que \(C_T\) est strictement croissante.
3. Le coût moyen est le coût total divisé par la quantité.
\(C_M(q)\) \(=\) \(\frac{0,5q^3 - 5q^2 + 40q + 98}{q}\) \(=\) \(0,5q^2 - 5q + \frac{98}{q} + 40\)
Cette fonction n’est pas définie en 0. L’établissement du tableau de variation nécessite l’étude du signe de la dérivée de \(C_M\) sur \(]0 \,; 10].\)
\(C'_M(q)\) \(=\) \(q - 5 - \frac{98}{q^2}\) \(=\) \(\frac{q^3 - 5q^2 - 98}{q^2}\)
Prenons l’expression de cette dérivée telle qu’elle est indiquée dans l’énoncé et vérifions que nous pouvons obtenir la même écriture que ci-dessus.
\(C'_M(q)\) \(=\) \(\frac{q^3 + 2q^2 + 14q - 7q^2 - 14q - 98}{q^2}\) \(=\) \(\frac{q^3 - 5q^2 - 98}{q^2}\)
Pour dresser le tableau de variation de CM, déterminons le signe de sa dérivée. Bien sûr, on s’appuie sur la forme donnée dans l’énoncé mais il faut terminer la factorisation si c'est possible. Soit le trinôme \(q^2 + 2q + 14.\) Le discriminant est négatif (-52) et il n’y a donc aucune racine réelle. Ce trinôme n’est pas factorisable et son signe est positif (coefficient de \(q^2 = +1\). Comme le dénominateur de \(C'_M\) est lui aussi positif sur \(]0 \,; 10],\) le signe de \(C'_M\) est le même que celui de \(q - 7,\) seul facteur susceptible d’être négatif.
Le coût est minimal lorsque sept hectolitres de soupe sont produits (soit 43,50 € / hl).
4. Courbes tracées avec GeoGebra.
5. \(C_m (7) = (1,5 × 7^2) - (10 × 7) + 40\) \(=\) \(43,5\) \(=\) \(C_M (7)\)
Cet exemple illustre un point bien connu de la micro-économie : le coût marginal est égal au coût moyen lorsque celui-ci est minimum. Plus généralement, un coût moyen est décroissant lorsqu’il est supérieur au coût marginal et il est croissant lorsqu’il lui est inférieur.
