Relations entre valeurs d'une série temporelle
L’étude d’une série chronologique comporte l’évolution tendancielle de la variable mais aussi la question de savoir si les valeurs observées à une période donnée sont liées aux valeurs précédentes. Par exemple, une température élevée aujourd’hui est-elle susceptible d’être suivie d’une température élevée demain ?
L’autocorrélation permet d’étudier ce type de relation. Elle mesure la corrélation entre les valeurs d’une même série séparées par un certain nombre de périodes.
Principe
En statistique, une corrélation mesure habituellement la liaison entre deux variables différentes. Ici, on compare la série avec elle-même, mais en la décalant dans le temps.
Ainsi, pour étudier l’autocorrélation au retard 1 (ou lag 1), on met en relation chaque valeur avec celle qui la précède et on calcule le coefficient de corrélation entre ces deux colonnes. Celui-ci est appelé coefficient d’autocorrélation d’ordre 1, généralement noté \(r_1\) ou \(\rho_1.\)
On peut recommencer en comparant chaque observation avec celle située deux périodes auparavant et on obtient l’autocorrélation d’ordre 2. Avec trois périodes de décalage, l’autocorrélation d’ordre 3 et ainsi de suite. L’autocorrélation d’ordre \(k\) mesure donc la corrélation entre \(X_t\) et \(X_{t-k}.\)
Pourquoi étudier l’autocorrélation ?
L’autocorrélation montre d’abord si les observations d’une série sont indépendantes dans le temps.
Si l’autocorrélation est proche de zéro, il existe peu de liaison linéaire entre les observations séparées par le retard considéré.
Une autocorrélation positive signifie que des valeurs élevées ont tendance à être suivies, après le nombre de périodes considéré, par des valeurs également élevées, et que des valeurs faibles ont tendance à être suivies par des valeurs faibles.
Une autocorrélation négative traduit au contraire une tendance à l'alternance : une valeur élevée peut être suivie d’une valeur faible, et inversement.
L’autocorrélation permet aussi de mettre en évidence une saisonnalité. C’est l’une de ses utilisations les plus intéressantes.
Imaginez une série mensuelle présentant une saisonnalité annuelle. Les valeurs observées en janvier ont tendance à ressembler aux valeurs observées en janvier de l’année précédente, celles de février aux valeurs de février de l’année précédente, etc.
On devrait alors observer une autocorrélation particulièrement forte au retard 12. Plus généralement, pour une série mensuelle, un pic d’autocorrélation aux retards 12, 24, 36… peut révéler une périodicité annuelle.
Construction
Pour chaque retard \(k,\) on compare la série originale avec la série décalée de \(k\) périodes. On obtient alors une série de coefficients compris entre -1 et 1, tels des coefficients de corrélation classiques.
On peut ensuite représenter graphiquement ces coefficients dans un corrélogramme, également appelé graphique de la fonction d’autocorrélation (ACF, pour Autocorrelation Function).
Sur ce graphique, l’axe horizontal représente les retards (lags) et l’axe vertical les coefficients d’autocorrélation.
Interprétation
La forme générale du corrélogramme est intéressante.
- Supposons que le coefficient d’autocorrélation au retard 1 soit de 0,80. Il existe donc une forte liaison positive entre une observation et celle qui la précède. Ainsi, les valeurs ont tendance à évoluer dans le même sens d’une période à l’autre. Il faut toutefois éviter une interprétation causale. Une autocorrélation de 0,80 ne signifie pas que la valeur précédente « provoque » la valeur actuelle mais qu’il existe une forte association statistique entre les deux.
- Une autocorrélation de −0,70 au retard 1 traduit une relation négative importante entre deux observations successives. Ce phénomène peut apparaître dans certaines séries où les variations ont tendance à être corrigées d’une période à l’autre.
- Un profil très courant est celui d’une autocorrélation importante aux premiers retards, puis qui diminue progressivement. Cela indique que les observations proches dans le temps sont fortement liées, mais que cette liaison s’affaiblit lorsque l’écart temporel augmente. Ce profil est caractéristique d’une série présentant une dépendance temporelle : l’information contenue dans les observations récentes reste utile pour comprendre les observations suivantes, mais son influence statistique diminue avec le temps.
- Des pics à intervalles réguliers sont particulièrement intéressants. Pour une série mensuelle, des coefficients élevés aux retards 12, 24 et éventuellement 36 révèlent une saisonnalité annuelle. Le corrélogramme peut donc constituer un moyen très pratique de repérer une périodicité qui n’est pas forcément évidente à partir du seul graphique de la série.
- Si les coefficients sont tous proches de zéro, les observations successives présentent peu de dépendance linéaire. Cela peut être le cas d’une série proche d’un bruit blanc, où les valeurs successives sont imprévisibles les unes à partir des autres.
Attention cependant : une autocorrélation faible ne signifie pas nécessairement qu’il n’existe aucune relation entre les observations. L’autocorrélation mesure une liaison linéaire ; d’autres formes de dépendance peuvent exister.
Autocorrélation et stationnarité
L’interprétation de l’autocorrélation doit tenir compte de la nature de la série.
Une chronique présentant une tendance très marquée peut avoir des autocorrélations élevées aux premiers retards simplement parce que les valeurs augmentent progressivement au cours du temps. Une forte autocorrélation ne correspond donc pas nécessairement à une véritable structure dynamique entre les observations !
C’est pourquoi l’analyse des séries temporelles distingue la série observée et une série rendue stationnaire après désaisonnalisation et élimination de la tendance. Cette précaution est importante lorsqu’on utilise l’autocorrélation pour construire un modèle de prévision.
Autocorrélations simple et partielle
L’autocorrélation simple mesure la relation entre \(X_t\) et \(X_{t-k},\) mais celle-ci peut être indirecte.
Par exemple, \(X_t\) peut être fortement corrélé avec \(X_{t-2}\) uniquement parce que \(X_t\) dépend de\ (X_{t-1},\) qui lui-même dépend de \(X_{t-2}.\)
L’autocorrélation partielle cherche à isoler la relation entre deux observations après avoir tenu compte des relations intermédiaires. Elle fournit donc une information complémentaire à l’ACF.
L’analyse conjointe de l’autocorrélation et de l’autocorrélation partielle est notamment utilisée dans l’identification des modèles ARIMA.
Autocorrélation des résidus
L’autocorrélation ne sert pas uniquement à étudier une série brute. Elle peut être utilisée après l’estimation d’un modèle.
On peut par exemple calculer les autocorrélations des résidus d’un modèle de prévision. Si celui-ci a correctement capturé la structure temporelle de la série, les résidus devraient idéalement ne plus présenter de dépendance temporelle systématique.
Ainsi, un corrélogramme des résidus montrant des autocorrélations importantes indique que le modèle n’a pas réussi à prendre en compte toute l’information contenue dans la série.
Voir également le test de Durbin-Watson.
