Loi de probabilité et simulations
Cette page a été rédigée pour les élèves de première technologique. Ceci ne signifie pas que, si vous n’en êtes pas un(e), vous ne tirerez pas de bénéfice de sa lecture…
Contexte
Soit la pâtisserie Stat Tatin, dans laquelle on trouve de délicieux gâteaux d’anniversaire.
Le pâtissier est féru de statistiques, ce qui est tout à son honneur. Ainsi, en analysant ses ventes au cours des dernières années, il a établi que pour \(40\%\) des jours ouvrés il ne vendait aucun gâteau, qu’il en vendait un pour un quart des jours ouvrés, deux dans \(20\%\) des jours ouvrés, trois un jour sur dix et sinon quatre.
Notre pâtissier souhaite établir des prévisions. Nous allons l'aider.
- a- Soit \(X\) la variable aléatoire « nombre de gâteaux d’anniversaire vendus dans la journée ». Quelle est la loi de probabilité de \(X\) ?
b- Calculer l’espérance de cette loi.
c- Interpréter le résultat.
- Rédiger un algorithme en langage Python pour simuler un nombre de gâteaux vendus dans une journée prise au hasard compte tenu de la loi de probabilité suivie.
- Simuler avec un tableur les ventes sur de nombreux jours ouvrés.
Loi de probabilité
Il faut juste réécrire les pourcentages en probabilités et les présenter dans un tableau.
Ainsi la variable aléatoire prend les valeurs 0, 1, 2 3 et 4.
À la valeur 0 correspond une probabilité de 0,4 puisqu’aucun gâteau n’est vendu dans \(40\%\) des jours ouvrés.
À la valeur 1 correspond une probabilité de 0,25 puisqu’un seul gâteau est vendu dans un quart des jours ouvrés.
De même, à la valeur 2 correspond une probabilité de 0,2 et à la valeur 3 une probabilité d’un dixième, soit 0,1.
Sinon, ce sont quatre gâteaux qui sont vendus. Comme la somme des probabilités est toujours égale à 1, il suffit de poser une soustraction pour connaître la probabilité de vendre quatre gâteaux dans la journée.
\(1 - 0,4 - 0,25 - 0,2 - 0,1\) \(= 0,05\)
D’où le tableau :
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \(P(X = x)\) | 0,4 | 0,25 | 0,2 | 0,1 | 0,05 |
L’espérance est une moyenne pondérée par les probabilités. Une moyenne pondérée s’obtient en multipliant chaque valeur par les effectifs correspondants (ici des probabilités) et en divisant par le tout par l’effectif total (ici la somme des probabilités, soit 1, et il est inutile de faire apparaître un dénominateur de 1).
\(E(X)\) \(= 0 × 0,4 + 1 × 0,25 + 2 × 0,2 + 3 × 0,1 + 4 × 0,05\) \(= 1,15\)
Traduction : en moyenne le pâtissier peut espérer vendre 1,15 gâteau par jour.
Python
Le principe consiste à considérer les probabilités cumulées, donc un intervalle \([0\, ;1],\) puis à tirer au hasard un réel dans cet intervalle et à constater à quelle valeur \(x\) correspond ce réel.
Le tableau des probabilités s’obtient exactement comme un tableau des fréquences cumulées.
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| Interv. | \([0\,;0,4[\) | \([0,4\,; 0,65[\) | \([0,65\,; 0,85[\) | \([0,85\,; 0,95[\) | \([0,95\,; 1]\) |
Le tirage au hasard s’obtient par random qui se trouve dans la bibliothèque random.
Suggestion de programme :
from random import random
def alea():
n = random()
if n < 0.4:
x = 0
elif n < 0.65:
x = 1
elif n < 0.85:
x = 2
elif n < 0.95:
x = 3
else:
x = 4
return x
print(alea())
Plus rapide, en utilisant choices :
from random import choices
def alea():
n = choices([0,1,2,3,4],[0.4,0.25,0.2,0.1,0.05])
return(n)
print(alea())
Bon, c’était juste histoire d’écrire un programme car pour notre pâtissier il n’a pas grand intérêt… Si on le lançait des centaines de fois, on retrouverait à peu près nos statistiques, soit \(40\%\) de 0, etc.
Tableur
Pour obtenir un nombre aléatoire compris entre 0 et 1, il faut entrer la fonction =ALEA() (ci-dessous en cellule A2 puis recopiée vers le bas). La formule entrée pour déterminer la valeur de la variable aléatoire est une imbrication de conditions (voir la barre de formule ci-dessous).
Bien sûr, comme les nombres de la première colonne sont aléatoires, ils seront différents si vous faites l’exercice.
À partir de ces résultats (sur plusieurs centaines de lignes), vous pouvez réaliser un tableau croisé qui là encore devrait être très proche du tableau de la question 1.
