Structure algébrique et nombres complexes
L’exercice qui suit est extrait d’une épreuve du baccalauréat au Maroc (2024). En France, les structures algébriques ne sont pas au programme de terminale et cet exercice sera donc de niveau bac+1. Il suppose de connaître quelques propriétés des nombres complexes mais il est plutôt facile.
Énoncé
On considère dans \(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*\) la loi de composition interne \(T\) définie par :
\(\forall((a,b),(c,d)) \in \left(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*\right)\,;\,(a,b)T(c,d)=(a\overline{d}+c,bd)\) (\(\overline{d}\) étant le conjugué du nombre complexe \(d\)).
1- a) Vérifier que \((i,2)T(1,i) = (2,2i)\) puis calculer \((1,i)T(i,2).\)
b) En déduire que la loi \(T\) n’est pas commutative sans \(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*.\)
2- Montrer que la loi \(T\) est associative dans \(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*.\)
3- Vérifier que \((0,1)\) est l’élément neutre pour \(T\) dans \(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*.\)
4- a) Vérifier que \(\forall(a,b) \in \mathbb{C} \times \mathbb{C}^*\) ; \((a,b)T\left(-\frac{a}{\overline{b}},\frac{1}{b}\right)=(0,1).\)
b) Montrer que \(\left(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*,T\right)\) est un groupe non commutatif.
5- a) Montrer que \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\) est stable par la loi de composition interne \(T.\)
b) Montrer que \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\) est un sous-groupe du groupe \(\left(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*,T\right).\)
Corrigé
1- En préambule à cette première question, montrons que \(i\) multiplié par son conjugué est égal à 1. Ceci n’était pas demandé dans l’énoncé et, comme l’usage de la calculatrice était interdit, il vaut mieux savoir retrouver ce résultat si on ne l’a pas appris par cœur.
Le conjugué de \(i\) est \(-i.\)
\(i \times \overline{i} = i \times (-i) = -i^2.\)
On sait que \(i^2 = -1.\)
Donc \(-i^2 = -(-1) = 1.\) Ci-dessous, nous utiliserons cette égalité.
a) Rappelons la loi de composition : \((a,b)T(c,d)=(a\overline{d}+c,bd)\)
Donc \((i,2)T(1,i) = (i \times \overline{i} + 1, 2i)\)
\(\Leftrightarrow (i,2)T(1,i) = (2, 2i).\)
L’égalité est démontrée.
\((1,i)T(i,2) = (1 \times \overline{2} + i, 2i)\)
Le conjugué d’un réel est ce même réel. Donc : \((1,i)T(i,2) = (2 + i, 2i)\)
b) \((i,2)T(1,i) \ne (1,i)T(i,2)\)
Par conséquent la loi de composition \(T\) n’est pas commutative dans \(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*.\)
2- Déterminons \([a,b)T(c,d)]T(e,f)\) avec \(a, c, e \in \mathbb{C}\) et \(b,d,f \in \mathbb{C}^*.\)
\([(a,b)T(c,d)]T(e,f)\) \(=\) \(( a\overline{d}+c,bd)T(e,f)\)
\(\Leftrightarrow [(a,b)T(c,d)]T(e,f)\) \(=\) \(((a\overline{d}+c)\overline{f}+(e,bdf)\)
\(\Leftrightarrow [(a,b)T(c,d)]T(e,f)\) \(=\) \((a\overline{d}\overline{f} + c\overline{f}, bdf)\)
Par ailleurs...
\((a,b)T[(c,d)T(e,f)]\) \(=\) \((a,b) T [(c\overline{f}+e,df)]\)
\(\Leftrightarrow (a,b)T[(c,d)T(e,f)]\) \(=\) \((a \overline{d}\overline{f} + c\overline{f},bdf)\)
Nous obtenons la même expression. \(T\) est associative sur \(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*.\)
3- \((0,1)\) est-il l’élément neutre ?
\((a,b)T(0,1) = (a \times 1 + 0, 1b) = (a,b)\)
\((0,1)T(a,b) = (0 \times b + a, 1b) = (a,b)\)
Donc \((0,1)\) est l’élément neutre de \(T.\)
4- a) \((a,b)T\left(-\frac{a}{\overline{b}},\frac{1}{b}\right)\) \(=\) \((a \times \frac{1}{\overline{b}} - \frac{a}{\overline{b}},b \times \frac{1}{b})\)
\(\Leftrightarrow(a,b)T\left(-\frac{a}{\overline{b}},\frac{1}{b}\right)\) \(=\) \((\frac{a}{\overline{b}} - \frac{a}{\overline{b}},1)\)
\(\Leftrightarrow(a,b)T\left(-\frac{a}{\overline{b}},\frac{1}{b}\right)\) \(=\) \((0,1)\)
b ) Montrons que \(\left(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*,T\right)\) est un groupe non commutatif.
La loi \(T\) est associative dans \(\left(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*\right)\) (question 2), elle admet un élément neutre (question 3) et tout élément a un opposé (question 4- a). Par ailleurs, \(T\) n’est pas commutative (question 1).
Donc \(\left(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*,T\right)\) est un groupe non commutatif.
5- a) Comme nous l’avons vu, si \(d \in \mathbb{R}, d = \overline{d}.\)
La stabilité est une notion assez simple. Elle signifie que lorsqu'on applique une loi de composition à des éléments d’un ensemble, on reste dans cet ensemble.
\(\forall((a,b),(c,d)) \in \left(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\right),\) \((a,b)T(c,d)\) \(=\) \((a\overline{d}+c,bd)\) \(=\) \((ad+c,bd) \in \left(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\right)\)
b) Montrons que \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\) est un sous-groupe du groupe \(\left(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*,T\right).\)
- Rappelons que l’élément neutre de \(T\) est \((0,1)\). Il est bien dans \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\) puisque \(0 \in \mathbb{R}\) et \(1 \in \mathbb{R}^*.\)
- L’associativité se vérifie là aussi (on pourrait refaire la démonstration de la question 2 en remplaçant \(\overline{d}\) par \(d\).)
- L’opposé de \((a,b)\) est aussi dans \(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\) puisque si \(b \in \mathbb{R}, b = \overline{b}.\) Cet opposé est \((- \frac{a}{b}, \frac{1}{b}).\)
\(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^*\) est bien un sous-groupe de \(\left(\mathbb{C} \times \mathbb{C}^*,T\right).\)
