Un problème avec fonction inverse

Fonction inverse (bac technologique)

Le problème qui vous est proposé ici est un extrait de l’épreuve du bac STMG centres étrangers de juin 2019. Il peut servir d’entraînement aux élèves de première générale et des terminales technologiques.

Énoncé

Une entreprise fabrique un engrais biologique liquide.

Chaque jour, le volume d’engrais liquide fabriqué est compris entre 5 m³ et 60 m³.

Le coût moyen quotidien de production (exprimé en centaine d’euros) de cet engrais est modélisé par la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \([5\, ;60]\) par :

\[f(x) = x -15 + \frac{400}{x}\]

où \(x\) est le volume quotidien d’engrais fabriqué, exprimé en m³. La représentation graphique \(\mathscr{C}_f\) de la fonction \(f\) est donnée dans le repère ci-dessous :

Partie A

1- Quel est le coût moyen quotidien pour la production de 50 m³ d’engrais ?

2- Quels volumes d’engrais faut-il fabriquer pour avoir un coût moyen quotidien de production inférieur ou égal à 3 500 € ?

Partie B

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \([5\, ;60].\) On note \(f’\) sa fonction dérivée.

1- Montrer que, pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \([5\, ;60],\) \(f’(x) = \frac{x^2 - 400}{x^2}.\)

2- Étudier le signe de \(x^2 - 400,\) pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \([5\, ;60].\)

3- En déduire les variations de la fonction \(f\) sur l’intervalle \([5\, ;60].\)

4- Pour quel volume d’engrais fabriqué le coût moyen quotidien de production est-il minimal ? Quel est ce coût moyen minimal ?

Corrigé commenté

Partie A

1- Pour connaître le coût moyen de 50 m³ d’engrais, nous devons calculer \(f(50).\)

\(f(50) = 50 - 15  + \frac{400}{50} = 43\) (on le vérifie, au moins approximativement, sur le graphe).

Le coût moyen d’une production de 50 m³ est de 4 300 € (penser que \(x\) est exprimé en centaine d’euros).

2- Deux corrigés sont possibles, selon que vous êtes en filière générale ou technologique. Si vous êtes dans une filière technologique, vous pouvez répondre en vous servant du graphe. Il suffit de tracer une droite horizontale au niveau de l'ordonnée \(y = 35\) et de constater que la zone où la courbe se situe sous la droite est celle où \(x\) est compris entre 10 et 40.

En filière générale, vous devez poser l’inéquation.

\(x - 15 + \frac{400}{x} = \leqslant 35\)
\(⇔ x - 50 + \frac{400}{x} \leqslant 0\)
\(⇔ \frac{x^2 - 50x + 400}{x} \leqslant 0\)

Comme \(x > 0\) nous pouvons écrire :

\(x^2 - 50x + 400 \leqslant 0\)

Nous devons donc étudier le signe d’un trinôme. Calculons le discriminant.

\(Δ = (-50)^2 - 4 × 1 × 400 = 900\) soit \(30^2.\)

Le discriminant étant positif, le trinôme admet deux racines \(x_1\) et \(x_2.\)

\(x_1 = \frac{50 -\sqrt{900}}{2} = 10\) et \(x_2 = \frac{50 + \sqrt{900}}{2} = 40.\)

Le signe du trinôme est du signe du coefficient de \(x^2\) (en l’occurrence 1 donc positif). Par conséquent :

Pour que le coût moyen quotidien de production soit inférieur ou égal à 3 500 € il faut que la production journalière soit comprise entre 10 et 40 m³.

Partie B

1- Rappelons que si \(u(x) = \frac{1}{x}\) alors sa dérivée \(u’(x) = -\frac{1}{x^2}\)

\(f’(x) = 1 - \frac{400}{x^2}\)
\(⇔ f’(x) = \frac{x^2 - 400}{x^2}\)

2- Étude du signe de \(x^2 - 400,\) pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \([5\, ;60].\)

Posons \(x^2 - 400 \geqslant 0\)

Pour résoudre l’inéquation, factorisons l’identité remarquable.

\((x + 20)(x - 20) \geqslant 0\)

Comme \(x + 20 > 0\) il suffit d’étudier le signe de \(x - 20.\)

\(x - 20 \geqslant 0\) est équivalent à \(x \geqslant 20\)

Donc si \(x ∈ [20\, ;60]\) alors \(x^2 - 400 \geqslant 0\) et bien sûr, si \(x ∈ [5\, ;20]\) alors \(x^2 - 400 \leqslant 0.\)

3- Le signe de la dérivée donne le sens de la fonction.

\(f\) est décroissante sur \([5\, ; 20]\) puisque \(f’\) est négative sur cet intervalle et croissante sur \([20\, ;60],\) où \(f’\) est positive. Nous le vérifions facilement sur le graphe.

4- La fonction \(f\) admet un minimum en \(f = 20.\)

\(f(20) = 20 - 15 + \frac{400}{2} = 25\)

Le tableau de variation n’étant pas demandé, il suffisait de poser ces calculs. Toutefois, il n’est pas interdit de présenter une petite synthèse…

Le coût moyen minimal est atteint pour une production quotidienne de 20 m³ ; il s’établit alors à 2 500 €.