Intersections, unions et sommes de s.e.v
Un petit tout d’horizon sur trois opérations qu’il est possible de faire ou de ne pas faire avec des sous-espaces vectoriels (s.e.v)… Pour ceux qui ne sont pas familiarisés avec les notions d’intersection et d’union, un échauffement préalable en page d'ensembles est recommandé.
L’intersection
L’intersection de deux s.e.v en constitue un troisième. Nous le démontrons au bas de cette page. En attendant, il est toujours bienvenu d’illustrer une affirmation par un exemple.
Nous nous situons dans l’espace vectoriel \(\mathbb{R^3}\). Soit un s.e.v \(A\) défini par \(x + 2y - z = 0\) et un s.e.v \(B\) défini par \(2x - 3y + 3z\) \(= 0.\)
Notre mission : valider que \(A\) et \(B\) sont des s.e.v et que \(A \cap B\) est également un s.e.v.
Vérifions d’abord que \(A\) est bien un s.e.v. Le vecteur nul en fait partie car \(0 + (2 \times 0) - 0\) \(= 0.\) Maintenant, faisons d’une pierre deux coups en vérifiant simultanément la stabilité pour l’addition et pour la multiplication en posant :
\((x,y,z) + a(x',y',z')\) \(= (x + ax',y + ay',z + az')\)
On commence par la première équation :
\((x + ax') + 2(y + ay') - (z + az')\)
\( = x + ax' + 2y + a2y' - z - az'\)
\( = (x + 2y - z) + a(x' + 2y' - z')\)
Le premier terme est égal à zéro et le second aussi (Cf. énoncé). Les conditions sont donc remplies. Même démonstration avec la seconde équation et nous voyons bien que nous sommes en présence de deux s.e.v.
Intersection : \(x + 2y - z\) \(= 2x - 3y + 3z,\) donc \(–x + 5y - 4z = 0\)
Il s’agit d’un nouveau s.e.v. On constate facilement que le vecteur nul en fait partie et que les stabilités sont vérifiées.
En l’occurrence, l’intersection de nos deux s.e.v en définit bien un autre.
L’union
En revanche, l’union de deux s.e.v en est rarement un (ça ne fonctionne que si l’un des s.e.v est inclus dans l’autre). Là encore, rien ne vaut une petite illustration car l’exposé déjà nébuleux risque de devenir opaque…
Dans l’espace à deux dimensions \(\mathbb{R}^2,\) l’axe des abscisses représente un s.e.v et l’axe des ordonnées en représente un autre. Le vecteur de coordonnées \((1\,;0)\) appartient au premier et le vecteur \((0\,;1)\) appartient au second alors que le vecteur \((1\,;1)\) ne se situe pas sur un axe. Inutile d’illustrer, vous visualisez ?
La somme
Si l’union de deux s.e.v n’en crée pas un troisième, il n’en est pas de même de leur somme ! En effet, ce qu’on appelle somme de deux s.e.v est le s.e.v composé des sommes des vecteurs qui appartiennent aux deux s.e.v. Il est engendré par eux. Et là, le plan correspond bien à la définition (somme des s.e.v \((0\,;1)\) et \((1\,;0),\) par exemple).
Quand on additionne deux s.e.v qui n’ont en commun que le vecteur nul, on parle de somme directe (c’est-à-dire que tout vecteur de cette somme s’écrit de manière unique). Il existe un symbole spécial pour noter la somme directe. Il ressemble à une croix celte : \({F_1} \oplus {F_2}\)
Si cette somme directe est égale à l’espace vectoriel, on dit que les s.e.v sont supplémentaires.
Formellement, deux s.e.v \(A\) et \(B\) de l'espace vectoriel \(E\) sont supplémentaires si \(A + B = E\) avec \(A \cap B = \{\overrightarrow{0}\}.\)
Il s'ensuit que tout vecteur de \(E\) s'écrit de façon unique sous la forme \(X + Y\) avec \(X \in A\) et \(Y \in B.\)
On utilise notamment la notion de somme directe lorsqu'on étudie les endomorphismes. Ceux-ci sont diagonalisables si la somme directe de leurs sous-espaces propres est égale à leur espace vectoriel.
Démonstration
Nous avions renvoyé la démonstration que l'intersection de deux s.e.v est un s.e.v en bas de page, un peu comme une annexe...
Pour montrer l'existence d'un s.e.v, on prouve d'abord que le vecteur nul en fait partie puis on démontre la stabilité de l'addition et de la multiplication par un scalaire dans ce s.e.v.
Les conditions de stabilité permettent d'établir un corollaire qu'il peut être plus pratique d'utiliser (c'est d'ailleurs ce que nous avons fait avec notre exemple). À savoir que \(\forall \lambda\) et \(\mu \in \mathbb{R},\) soit \(A\) un s.e.v de l'espace vectoriel \(E\) et les vecteurs \(u \in A\) et \(v \in A\) : \(\lambda u + \mu v \in A.\)
Sur ces considérations générales, démontrons.
Soit \(A\) et \(B\) deux s.e.v de \(E.\)
Le vecteur nul appartient donc à \(A\) comme à \(B.\) Ainsi \(\overrightarrow{0} \in A \cap B.\)
Soit \(u \in A \cap B\) et \(v \in A \cap B.\) Par conséquent, \(u \in A\) et \(v \in A\). Donc selon le corollaire \(\lambda u + \mu v \in A.\)
De même, \(u \in B\) et \(v \in B\). Donc \(\lambda u + \mu v \in B.\)
Par conséquent, \(\lambda u + \mu v \in A \cap B.\)
La démonstration est faite que \(A \cap B\) est un s.e.v de \(E.\)
Exercice
Soit \(X\) et \(Y\) deux s.e.v de \(\mathbb{R}^2.\) On considère deux réels \(a\) et \(b.\)
\(X = (a, 0)\) et \(Y = (0,b).\)
\(X\) et \(Y\) sont-ils des s.e.v supplémentaires de \(\mathbb{R}^2\) ?
Corrigé
Vérifions d'abord que \(X \cap Y = \{\overrightarrow{0}\} = (0,0).\)
Si \(a= 0\) et \(b = 0\) nous constatons à la fois l'appartenance à \(X\) et à \(Y\) et c'est le seul cas possible. Donc \(X \cap Y = \{\overrightarrow{0}\}\)
Appelons \((x, y)\) un vecteur quelconque de \(\mathbb{R}^2.\) Donc \((x, y) = (x,0) + (0,y)\)
Comme \((x, 0) \in X\) et \((0,y) \in Y\) nous avons bien \(Y + Y = \mathbb{R}^2.\)
\(X\) et \(Y\) sont des s.e.v supplémentaires de \(\mathbb{R}^2.\)
Pour l'illustrer, il suffit d'avoir en tête un plan repéré, \(X\) étant représenté par l'axe des abscisses et \(Y\) par l'axe des ordonnées.
