Intervalles de confiance au bac (STMG et ES)
Bienvenue sur cette page d’exercices corrigés qui vous permettra de vous entraîner sur les intervalles de confiance. Ils sont issus d’épreuves des bacs STMG et ES. Bon courage.
Exercice 1
(D’après bac STMG, Antilles-Guyane, juin 2017)
- Le gérant d’une brasserie souhaite faire passer le prix du menu à 15,90 €. Il souhaite estimer la proportion de clients qui seraient prêts à venir déjeuner à ce tarif. Il réalise un sondage auprès des clients présents le midi ce jour-là. Sur les 50 personnes interrogées, 39 se disent prêtes à venir déjeuner à ce tarif.
- Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de \(95\%,\) de la proportion de clients favorables à ce changement (on arrondira les bornes de l’intervalle à 0,01).
Exercice 2
(Bac ES, Antilles-Guyane, juin 2017)
Cette question faisait partie d’un QCM (questionnaire à choix multiple).
- Un article de journal affirme qu’en France, il y a \(16\%\) de gauchers. Un chercheur souhaite vérifier cette affirmation. Pour cela, il veut déterminer la taille de l’échantillon de la population française à étudier qui permettrait d’obtenir un intervalle de confiance d’amplitude égale à 0,1 au niveau de confiance de 0,95. La taille de l’échantillon est :
- a. 30
b. 64
c. 100
d. 400
Exercice 3
(Bac ES, Asie juin 2016)
- Dans ce qui suit, les résultats approchés sont arrondis au millième.
- Une entreprise produit en grande série des clés USB pour l’industrie informatique (…).
- On considère une grande quantité de clés devant être livrées à un éditeur de logiciels. On considère un échantillon de 100 clés prélevées au hasard dans cette livraison. La livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise.
- On constate que 94 clés sont sans défaut.
- Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de \(95\%,\) de la proportion des clés USB qui sont sans défaut.
Corrigé 1
Exercice très classique. Commençons par calculer la fréquence observée dans l’échantillon.
\(f= \frac{39}{50} = 0,78.\)
Si pour un échantillon de taille \(n\) le niveau de confiance est de 0,95, alors la proportion \(p\) sur la population entière se situe dans l’intervalle de confiance :
\[I = \left[ f - \frac{1}{\sqrt{n}} \,; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]\]
Par conséquent :
\[I = \left[ 0,78 - \frac{1}{\sqrt{50}} \,; 0,78 + \frac{1}{\sqrt{50}}\right]\]
En arrondissant, nous obtenons \(I = [0,64 \,; 0,92].\) Au seuil de \(95\%,\) la proportion de clients favorables au changement de prix se situe entre 0,64 et 0,92.
Corrigé 2 (taille d’échantillon)
L’énoncé comporte un petit piège : il n’est pas utile de connaître la proportion de \(16\%.\)
La formule de l’intervalle de confiance au seuil de 0,95 a été rappelée à l’exercice précédente mais enfonçons le clou :
\[I = \left[ f - \frac{1}{\sqrt{n}} \,; f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]\]
Par conséquent, l’amplitude de l’intervalle est \(A = \frac{2}{\sqrt{n}}.\)
Nous cherchons une amplitude égale à 0,1. Attention, \(n\) est un entier et on ne peut pas affirmer qu’il existe un entier pour lequel on obtiendra un intervalle de 0,1 exactement. Nous devons donc poser une inéquation. Nous cherchons un entier tel que \(\frac{2}{\sqrt{n}} \leqslant 0,1.\)
\(n\) est strictement positif et la fonction inverse est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_+ ^*.\) Donc :
\(\frac{\sqrt{n}}{2} \geqslant \frac{1}{0,1}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{n} \geqslant 20\)
Il fallait répondre d : \(n = 400.\)
Corrigé 3
L'inconvénient de cet exercice est qu’il peut être résolu de deux façons qui ne donnent pas le même résultat !
Voyons d’abord ce qui était attendu. C’est la résolution la plus simple, celle qui rappelle l’exercice 1.
La fréquence observée est égale à \(\frac{94}{100},\) soit 0,94.
L’effectif de l’échantillon s’établit à 100. La racine carrée est donc 10 et l’inverse de la racine carrée est 0,1.
Un premier calcul conduit à un intervalle \(I = [0,94 - 0,1 \,; 0,94 + 0,1]\) soit \([0,84 \,; 1,04].\) Or la borne supérieure est plus grande que 1. C’est impossible puisqu’il s’agit d’une probabilité.
Par conséquent l’intervalle de confiance est \([0,84 \, ; 1].\)
La deuxième façon de résoudre l’exercice est d’utiliser une formule qui a pu être donnée en cours ; mais le programme officiel est assez flou sur ce sujet et ladite formule n'est mentionnée qu'à titre de remarque (voir l'initiation aux intervalles de confiance). Rappelons-la :
\[I = \left[f - 1,96\frac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}} \,; f + 1,96 \frac{\sqrt{f(1-f)}}{\sqrt{n}} \right]\]
Ceci conduit à un intervalle plus précis de \([0,893 \,; 0,990]\) (arrondi au millième).
