Le mode de génération d'une suite

Exercices sur le mode de génération de suites

Vous êtes en première générale ou technologique et vous venez de découvrir les suites. Les tout premiers exercices portent sur leur mode de génération. Ici, vous en trouverez quelques-uns avec leurs corrigés. En les assimilant, vous commencerez ce chapitre sur de bonnes bases.

 

Rappel de cours

Ci-dessous, \(n ∈\) \(\mathbb{N}\) et \((u_n)\) est une suite. Ce qui figure en indice définit le rang et ne doit pas être confondu avec ce qui est écrit en taille normale (erreur fréquente lorsqu'on débute).

Il existe deux modes de génération d’une suite.

L’une d’elles est la formule explicite. Un terme de la suite est exprimé en fonction de \(n.\) On dit que c’est son « terme général ». Par exemple, \(u_n = 3n + 2.\)

L’autre est la relation de récurrence. Un terme est défini à partir de celui qui le précède. Il faut pour cela connaître le premier terme de la suite (ou éventuellement un autre), sinon il est impossible de trouver quoi que ce soit. Par exemple, \(u_{n+1} = u_n + 6\) avec \(u_0 = 3.\)

Notez qu’il existe des expressions un peu plus compliquées. Il s’agit de la double récurrence (un terme est défini par celui qui le précède mais aussi par celui d’avant) ainsi qu’une relation de récurrence qui est aussi fonction de \(n\) et dont vous trouverez un exemple dans l’exercice 5 ci-dessous.

 

Calculatrices

Les calculatrices graphiques utilisées au lycée comportent un mode suite. Celui-ci peut être employé pour les récurrences (voir les calculs de termes pour le mode d’emploi avec TI et Casio). Quant à la formule explicite, elle peut vous être proposée en mode suite mais vous pouvez vous en passer en laissant la calculatrice en mode fonction. Il vous suffit d’entrer l’expression de la suite dans la fenêtre des fonctions (n devient x) et de définir une liste qui commence par 0 (dans le cas où la suite commence par \(u_0\)) avec un pas de 1. C’est ainsi que l’exercice 6 ci-dessous a été corrigé.

 

Exercices

1- Déterminer les trois premiers termes de la suite \((u_n)\) définie par son terme général (avec \(n ∈ \mathbb{N}\)) : \(u_n = 4n - 2\)

2- Déterminer les trois premiers termes de la suite \(v_n\) définie par \(v_0 = 1\) et \(v_{n+1} = 0,5v_n + 3.\)

3- Même question avec \((w_n)\) définie par \(w_n = 2n^2 - n + 1.\)

4- Reprenons notre première question. \(u_n = 4n - 2.\) Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(n.\) Vérifier le résultat avec \(u_5\) et \(u_6.\)

5- Déterminer les quatre premiers termes de la suite \((t_n)\) définie par \(t_0 = 3\) et \(t_{n+1} = t_n + n\)

6- Revenons une dernière fois sur \((u_n).\) Il s’agit cette fois d’afficher les vingt premiers termes sur la calculatrice.

élève

 

Corrigés

1- \(u_n = 4n - 2.\) On remplace \(n\) par 0, 1 et 2. Donc \(u_0 = -2,\) \(u_1 = 2\) et \(u_2 = 6.\) Vous remarquez que l’on a compté à partir de zéro.

2- (\(v_n)\) est définie par récurrence. Son premier terme est donné dans l’énoncé : \(v_0 = 1.\) Il n’y en a donc que deux à calculer. \(v_1 = 0,5 v_0 + 3\) d'où \(v_1 = 3,5.\) Ensuite, \(v_2 = 0,5 × 3,5 + 3\) soit 4,75.

3- \(w_n = 2n^2 - n + 1\) est une formule explicite. \(w_0 = 1\) car \(2 × 0^2 - 0  + 1\) \(=\) \(1.\) De même, \(w_1 = 2\) et \(w_2 = 7.\)

4- Pour exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(n\) il suffit de copier-coller \(n+1\) sur \(n\) puis de simplifier. Attention à ne pas oublier les parenthèses !

\(u_{n+1} = 4(n + 1) - 2\) donc \(u_{n+1} = 4n + 4 - 2\) et ainsi \(u_{n+1} = 4n +2.\)

Calcul à partir de l’énoncé : \(u_5 = 4 × 5 - 2 = 18\) et \(u_6 = 4 × 6 - 2 = 22.\)

Calcul de \(u_6\) à partir du résultat que nous venons d’obtenir. Il faut remplacer \(n\) par 5 pour avoir \(u_6\) (c’est-à-dire \(n_{5+1}\)). Et \(u_6 = 4 × 5 + 2 = 22.\) Victoire, nous vérifions le résultat précédent.

5- \(t_0 = 3\) et \(t_{n+1} = t_n + n.\) C’est une relation de récurrence qui comporte aussi \(n\) dans son expression.

\(t_0\) est donné. Nous n’avons donc que trois termes à calculer. Ce « mélange » de \(u_n\) et \(n\) doit vous inciter à la prudence. Le piège, lorsqu’on détermine \(t_1\), c’est que \(n = 0\) puisque \(t_1 = t_{0 + 1}.\) Donc \(t_1 = 3 + 0 = 3.\)

Le piège existe aussi pour les termes suivants. \(t_2 = 3 + 1 = 4\) (3 est \(t_1\) et 1 est \(n\)).

\(t_3 = 4 + 2 = 6\)

6- Avec une Casio GRAPH 85 SD : menu TABLE puis saisir l’expression de \((u_n)\) comme s’il s’agissait d’une fonction définie sur \(\mathbb{R}.\) Puis EXE pour obtenir la fenêtre suivante :

Sélectionnez SET avec la touche F5. La suite commence à zéro (Start), nous listons jusqu’à \(u_{19}\) pour avoir les vingt premiers termes (End) et le pas doit être de 1 (Step).

EXE puis touche F6 (le choix TABL).

Nous retrouvons les valeurs obtenues à la question 1. Nous pouvons faire défiler les valeurs jusqu’à la vingtième avec la flèche directionnelle vers le bas.

Vous pouvez aussi rester en mode fonction avec une calculatrice TI-83. Mais si vous préférez le mode suite

Pour bénéficier de ce menu adapté à la forme explicite, vous devez avoir sélectionné SUITE(n) en haut. Si votre suite est définie par une récurrence simple, optez pour SUITE(n+1) et si elle l’est par une double récurrence, sélectionnez SUITE(n+2). Ensuite touches 2nde et table pour obtenir les valeurs. Sur une TI, il n’y a pas à entrer de rang de fin.